单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义课件.ppt

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1、§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义问题引航1.单位圆中是如何定义正、余弦函数的？正、余弦函数的定义域是什么？2.正、余弦函数在各个象限的符号如何确定？3.任意角的三角函数的定义是什么？1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数vu全体实数全体实数2.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号简记：一全正、二正弦、四余弦.3.任意角的正弦函数、余弦函数(1)前提：设角α的顶点是坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α终边上任一点Q(x,y).(2)结论：OQ的长度为且sinα=___，cosα=___.4.任意角的正、余弦三角函数(

2、1)前提：用x表示自变量，即x_______的大小，用y表示函数值.(2)结论：任意角的正、余弦三角函数可以表示为y=sinx和y=cosx，它们的定义域为_________.表示角全体实数1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sinα,cosα中可以将“α”与“sin”，“cos”分开.()(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.()(3)角α终边上有一点P(1，1)，故cosα==1.()【解析】(1)错误.符号sinα,cosα是一个整体，不能分开.(2)正确.终边相同的角的同一三角函数值相等.(3)错误.P(1,1),x=1,y=1,故cosα=答

3、案：(1)×(2)√(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知角α终边经过点则角α的最小正值是______.(2)角α的终边经过点P(m,4)，且cosα=则m=_______.(3)角α满足sinα>0,cosα<0,则α在第______象限.【解析】(1)所以α的最小正值为答案：(2)r=因为cosα=解得m=3(舍去)，m=-3.答案：-3(3)当sinα>0时,α在第一、二象限及y轴正半轴，当cosα<0时，α在第二、三象限及x轴负半轴，故sinα>0,cosα<0时，α在第二象限.答案：二【要点探究】知识点正、余弦函数的定义1.对任意角的三角函数的定

4、义的两点说明(1)任意角的三角函数y=sinx，y=cosx都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数.可从以下两个方面理解：①角(弧度数)实数.②对于每一个确定的角x，其终边位置是唯一确定的，与单位圆的交点P(u，v)也是唯一确定的，因此角x的正弦(或余弦)函数值是唯一确定的.一一对应(2)任意角的三角函数的概念与锐角三角函数的概念的实质是一样的.锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角的三角函数是锐角三角函数的推广.2.对正弦、余弦函数在各象限的符号的两点说明(1)根据正弦、余弦函数的定义可知，正弦、余弦函数在各象限的符号是由该角终边上任意一点的坐标的符号确

5、定的.横坐标的正负确定余弦函数的符号，纵坐标的正负确定正弦函数的符号.(2)判断符号，可直接应用角所在的象限进行判断.【微思考】的大小与点P在角的终边上的位置有关吗？提示：无关，只与角的大小有关.【即时练】当角α=0时，sinα=______；若角α=-3，则sinα的符号为______(填“正”或“负”).【解析】当角α=0时，sinα=0；若角α=-3，则角α是第三象限角，所以sinα＜0.答案：0负【题型示范】类型一任意角的正弦函数、余弦函数【典例1】(1)(2014·石家庄高一检测)已知角α与单位圆的一个交点坐标是则cosα等于()(2)已知角α的终边经过点P(－2

6、,－4)，求角α的正、余弦函数值.【解题探究】1.题(1)中的值是多少?2.题(2)中角α是第几象限角？【探究提示】1.2.因为点P(－2,－4)在第三象限，所以角α的终边落在第三象限，即角α是第三象限角.【自主解答】(1)选D.因为所以故cosα=(2)因为点P(－2,－4)在角α的终边上，故u1=－2，v1=－4，可知r=OP=所以sinα=cosα=【延伸探究】题(1)中的条件不变，求sinα的值.【解析】因为角α与单位圆的一个交点坐标是所以sinα=【方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法

7、一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.方法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a,b)，则对应角的正弦值余弦值(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.【变式训练】已知角α的终边经过点P(2，-3)，则cosα的值是()【解析】选C.角α的终边经过点P(2，-3)，故由三角函数的定义知故选C．【补偿训练】(2013·西安高一检测)已知角α为第二象限的角.P(a,4)为α终边上一点，且sin