52一元线性回归中的假设检验和预测[试题]

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1、§5.2—元线性回归中的假设检验和预测一元线性回归中的假设检验（1）假设检验的必要性①上一节推导出的回归系数的最小二乘估计（5.1-8）式，对兀,丫的任何一组数据（兀'X），Q=1,2,…，力）均适用,即使兀，丫之间毫无关系。如果这样，求得的回归直线方程就没有任何意义。因此，求得回归直线后还需要检验兀‘丫之间是否真的有统计线性相关关系一一一元线性回归的模型检验。②回归系数兀,0’的最小二乘估计只是由兀丫的〃对观测值（羽,/J,（Z=1,2,…,n）求得的,此估计值到底在什么程度上适于兀,Y之间的真正关系？因此，需对参数是

2、否取为其估计值作假设检验一一一元线性回归的参数检验。(2)一元线性回归的模型检验为对兀，丫之间满足一元正态线性回归模型：Jy=+Pix+8(5.1-3)这一假设的合理性进行严格的检验，需要检验三点：①在X的各取值点处，丫都服从正态分布，期望值依赖于X,且方差都相同;②在X的各取值点处，丫的期望是X的线性函数；③在兀的各取值点处，相应的Y是相互独立的。可见，进行完全的严格检验并不容易。而引起线性回归不显著的原因主要有以下三点：①除变量X外,还有其它重要变量影响丫的取值，故当兀取定时，y不能服从正态分布;②兀丫之间不是线性相

3、关关系，而是某种非线性相关关系；③Y的取值根本与X的取值无关。在上述情况之一出现时，若对兀，丫配以线性回归模型，均会有几=0,即1!Y"心・因此，对线性回归模型显著性的检验可以简化处理为对£是否成立的检验。方法如下：①作假设礼8严0今比：B严o②检验统计量及其分布由定理5.1.3知:A¥页〜心-2),故当矶成立时有B!—H°"牛页〜心-2)以此为检验统计量，且由兀，丫的一组观测值（小，X），Q=1,2,…,〃）可以求得T的观测值。F=T2=^Lxx~F(l,n-2)CT*2matlab软件中采用的是F检验。③拒绝域给定显

4、著水平该双边/检验的拒绝域应取为肌②做出判断当抽样结果使卩的观测值落入拒绝域时，拒绝码，认为0严0,因而线性回归显著；否则认为线性回归不显著。（3）一元线性回归的参数检验①作假设A-Pio㈠乩:0"九（九为已知数）②检验统计量及其分布由定理5.1.3知:A¥页〜心-2）,故当弘成立时有OA“红如反〜心-2）*以此为检验统计量，且由x，Y的一组观测值（兀,X），0=1，2,…,n）可以求得T的观测值。②拒绝域给定显著水平取该双边/检验的拒绝域为肥皿办％（〃-2）.③做出判断当抽样结果使厂的观测值落入拒绝域时，拒绝矶，认为恥

5、九;否则接受码,认为Bi-Pio・注：由定理5・1・1②中几的分布及由定理5・1・2①中£必”的分布可以构造服从心一2）的另一统计量，对Ho：Bo=BooO£Boo进行类似的假设检验。一元线性回归中的预测回归分析的最终目的，是当X取定时利用回归方程对y进行预测。所谓对丫的预测，即当兀二兀。时，求岭的点估计（预测值）和区间估计（预测区间）。问题：在模型（5.1-3）中令x=贝

6、J乙=0。+阳+6,且®~N（0,/）・求岭的取A值儿估计值儿和置信概率为1-么的置信区间。（1）预测值的求法AA求出经验回归直线y=B（）+0iX

7、后,将兀=勺代入，取AAAy。=Po+Pixo(5.2-1)AA实质上是取y0-E(Y0).(2)预测区间的求法AAA①儿的点估计力=0o+BlXo・②寻找枢轴量(i)5J的分布AAAYo_=(00+Pixo+5)一(0o+Pl其中曲“均服从正态分布,故它们的线性函数怡-并也服从正态分布。再求AAAY0-y0的两个参数E（Yo-几）和D（Y0—%）・AE（爲—儿）=（0。+0內+0）—（0。+0內）=0又X=£时，Y=yj，(Z=l,2,…，炖，且乙与"，…，Y"相互独立。而ALLXX^（x,-x）（Y,-Y）(5.18

8、)其中U%,故乙与人卫，…，D的线性函n1=1AAA数力=Bo+Bixo相互独立。于是AAD(场_旳)=厂场+D旳AA=/十D(B(j+卩］x°)(由(5/—A_=(72+D(Y+^(x0-x))——A=(j2+D(Y)+(x0-x)2D^1)(由定理5.7.7)2_2=(72+-+(x0-x)2—(由定理5.7.7)nLxx=(7+丄+(叼—兀)2)异“Lxx.••Yo-爲〜N(0,(7+-+(Xo~X)2)^2)(ii)构造枢轴量由上式知A〜N(O,1)由定理5Z2知/=4张」〃一2厂2~力2（_2）CT（J又：U与

9、/相互独立（由定理5・7・2AA知也分别与几，几相互独立，故与宀沐瓦心独立；Q汕是齐兀，…,Y”的函数,故与怡独立，从而*与u相互独立），于U2/(—2)A〜t(n—2)即:(5.2—2)以此为区间估计的枢轴量。①求置信区间给定置信概率为/-Q,有/一2丿使2P{T

10、<0-2)导出％的