多元线性回归中的假设检验和预测

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1、§5.5多元线性回归中的假设检验和预测线性回归的显著性检验问题：对于模型（5.4-3），要检验自变量与因变量之间是否显著地具有这种线性联系，做法如下（1）在模型上作假设由组观察值对假设是否成立进行判断，接受则认为，，即与无关，线性回归不显著；拒绝则认为线性回归显著。（2）找出检验统计量①先做平方和分解总离差平方和为，（即），取（经验回归平面上对应于第i次观测点处的y值），则其中步骤（*）的推导：由（5.4-7）式得从而（*）前的各项均为0.于是记称为剩余（残差）平方和；称为回归平方和。则有平方和分解其中是由引起的；是由线性回归

2、引起的。②构造成立时的检验统计量由定理4.4.2知，其中为回归参数的个数。当成立时，，于是且相互独立，.故有由抽样分布定理知由（5.5-3）、（5.5-4）、（5.5-5）及分解定理知且相互独立，则其中，.即以为检验统计量。③值的计算，故，从而（3）给定，确定拒绝域无论回归显著与否，不变；回归越显著时，越小，就越大，从而也就越大。故应在值偏大时拒绝，认为回归显著。即：给定显著水平后，取拒绝域为（4）列方差分析表来源平方和自由度均方离差F显著性回归剩余总和例5.5-1（续例5.4-1）取，检验线性回归的显著性。解：假设MATLA

3、B程序x1=[152183171165158161149158170153164190185];x2=[50202030305060504055404020];n=length(x1);x=[ones(1,n);x1;x2]';y=[120141124126117125123125132123132155147]';b=inv(x'*x)*x'*y；qt=(n-1)*var(y)qt=1512qs=(y-x*b)'*(y-x*b)qs=81.4301qh=qt-qsqh=1.4306e+003p=length(x(1,:))-

4、1;f=(qh/p)/(qs/(n-p-1))f=87.8404查表知拒绝域的临界值，故有来源平方和自由度均方离差F临界值显著性回归p=2显著剩余n-p-1=10总和n-1=12即在人的身高相等的条件下，其血压与体重，年龄得线性回归显著。回归系数的显著性检验问题：当拒绝时，认为回归显著，即回归系数不全为0。那么是否每个自变量都对起作用？因此需要检验是否显著为0.（1）在模型上作假设（2）寻找检验统计量由定理5.4.3知其中是矩阵的第个主对角元素。当成立时，以为检验统计量。（3）给定，确定拒绝域当成立时，其估计值应该很接近0，故

5、取拒绝域为注：要对进行次检验。回归系数检验表j变量显著性12p例5.5.2（续例5.5.1）MATLAB程序c=inv(x'*x);forj=1:2t(j)=b(j+1)/sqrt((qs/(n-p-1))*c(j+1,j+1));endtt=12.18514.8096j变量显著性121.06830.400212.18514.8096显著显著即在人的身高相等的条件下，体重与年龄均对血压起显著作用。多重相关系数的另一表达式故有说明：越接近1，回归引起的离差平方和占总离差平方和的比率越大，表示回归模型与子样（试验值）拟合得好,即模

6、型合理。（事实上，上述matlab命令的使用，只是为了便于说明多元线性回归的思想方法，如果只为求解一个具体问题，使用regress命令会更高效。例5.5.1的matlab求解>>x1=[152183171165158161149158170153164190185];>>x2=[50202030305060504055404020];>>x=[ones(1,13);x1;x2]';>>y=[120141124126117125123125132123132155147]';>>[b,bint,e,eint,stats]=reg

7、ress(y,x)b=-62.96341.06830.4002bint=-100.8412-25.08550.87291.26360.21480.5856e=0.57410.4640-3.71670.6908-0.8312-4.04042.7768-0.8355-2.65270.50483.7569-1.01834.3274eint=-5.50686.6550-5.33366.2615-8.66431.2309-5.44316.8248-6.42594.7634-9.49981.4190-2.52558.0791-7.0515

8、5.3804-8.70443.3990-5.49626.5057-2.03789.5517-4.89382.8571-0.41449.0693stats=0.946187.84040.00008.1430即：多重相关系数r平方为0.9461，检验统计量的值F=87.8404，