多元线性回归模型的假设检验

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1、第四节多元线性回归模型的假设检验根据样本观察值应用最小二乘法对多元线性回归模型进行估计时，与一元线性回归模型一样，必须对拟合优度（在第二节中已经介绍）、回归系数的显著性以及回归方程的显著性进行一系列的检验,在这一节将讨论这一系列问题。一、关于个别偏回归系数的假设检验虽然拟合优度度量了估计的回归直线与样本观察值之间拟合程度，但是本身却不能告诉我们估计的回归系数是否在统计上是显著的，也就是否显著不为零。如果有的回归系数显著不为零，则其对应的解释变量对因变量的影响是重要的，否则就是不重要的，应该把这个解释变量从模型中剔出，重心建立更为简单的模型，因此，必须对回归系数的显著性进行检

2、验。同一元线性回归模型一样，在多元线性回归模型中，如果随机项和解释变量满足基本假定的要求，同样可以证明参数估计量服从其均值和方差的正态分布。由于总体方差未知，在第三节中我们已经证明了的无偏估计量为，因此可用代替，则OLS估计量服从自由度为的分布，而不是正态分布。即（4-4-1）具体检验步骤如下：1．提出假设：零假设：=0备则假设：≠02.在成立的条件下,计算统计量（4-4-2）3．在给定显著性水平的条件下，查表得临界值4．判断若≥，则拒绝：=0，接收：≠0。这是因为接收的概率保证程度很大，也就是说接收犯错误的概率很小，说明所对应的解释变量对因变量有显著影响。若≤，则接收：=

3、0，即与0的差异不显著，这种情况下，只有接收，犯错误的概率才会小。说明对应的解释变量对因变量没有影响。对参数的显著性检验，同样可以通过P值来检验。检验方法同一元线性回归模型一样，即如果的检验值的P值都很小，说明显著异于零，也就是说在拒绝零假设的过程中，犯错误的概率很小。二、关于总体显著性的假设检验与一元线性回归模型一样，对于多元线性回归模型的总体显著性检验，同样可以运用检验的方法进行显著性检验，也可以运用值进行检验。具体方法如下：1．提出假设零假设：备择假设：不全为02．在成立的前提条件下，由样本观察值计算统计量=（4-4-3）=（4-4-4）3．在给定显著性水平时，查表得

4、临界值4．检验，若>，拒绝，即回归方程显著成立。第4章2－15若<，接收，即回归方程不显著成立。对于多元线性回归方程总体性的显著性检验，同样可以运用统计量的值进行检验。如果统计量的值很小，说明拒绝零假设犯错误的概率很小，也就是说拒绝零假设的概率保证程度很大。对根据表5-1得到的国内生产总值与最终消费、资本形成之间的回归模型的总体显著性的检验如下：根据表5-2得到回归分析运算结果可知：其中=0.05=36354.31显然>即根据国内生产总值与最终消费、资本形成之间的回归模型的是显著成立的。对于总体方程的显著性检验，同样可以运用统计量的值进行检验。得出的结论是相同的。从表5-2

5、得到的回归分析运算结果表中可知，当=36354.31时,=(0.000000),也就是说拒绝零假设，犯错误的概率几乎没有。三、对两个回归系数是否相等的检验在多元线性回归模型中，如：（4-4-5）如果式（4-4-5）代表对某商品的需求量的一个线性回归模型，其中：Y：某商品的需求量X1：该商品的价格X2：消费者的收入X4：消费者的财富在这里如果我们要检验这样一个假设，即1．提出假设零假设：或备择假设：或即两个斜率系数和相等。这个虚拟假设是说，收入系数与财富系数相等。如何检验这样一个虚拟假设呢？在经典假设的条件下，可以证明：2．构造统计量（4-4-6）（4-4-7）由于，在虚拟假

6、设成立的条件下，我们构造的统计量为：（4-4-8）3．给定显著性水平，得到临界值。4．检验，如果≥，则拒绝：，接受：如果≤，则接收，即对于两个回归系数是否相等的检验，我们同样可以运用统计量的值进行检验，如果统计量的值合理的低，就可拒绝虚拟假设。四、受约束的最小二乘法：线性等式约束的假设检验经济理论针对某一回归模型中系数提出一些满足线性等式约束的条件。例如，柯布—道格拉斯生产函数：（4-4-9）其中Y：产出X1：劳动力投入X2：资本投入第4章2－15式（4-4-9）写成对数形式，方程就变为：（4-4-10）经济理论提出，如果规模报酬不变，即每一同比例的投入变化有同比例的产出变

7、化。结合线性等式约束就是：（4-4-11）那么对线性等式约束如何进行检验呢？一般有如下两种方法。（一）检验方法首先，对式（4-4-10）用OLS法进行参数估计（做无限制或无约束的回归），然后通过检验方法对约束条件进行检验。具体方法如下：1．提出假设零假设：备择假设：2．在成立的假设条件下，构造统计量。即（4-4-12）3．给定显著性水平，得到临界值。4．检验，如果≥，则拒绝：，接受：如果≤，则接收：。（二）检验方法检验的方法是在“无约束”回归估计之后，再看线性约束是否被满足。另一种直接的方法就是一开始便把约束条件式