多元线性回归模型的预测

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1、§3.43.4多元线性回归模型的预测一、E(Y0)的置信区间二、Y0的置信区间对于模型Yˆ=Xβˆ给定样本以外的解释变量的观测值X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解释变量的预测值：Yˆ=Xβˆ00它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测。但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括E(Y0)和Y0的置信区间。一、E(Y0)的置信区间易知E(Yˆ)=E(Xβˆ)=XE(βˆ)=Xβ=E(Y)000002Var(Yˆ)=E(Xβˆ−Xβ)=E(X(βˆ−

2、β)X(βˆ−β))00000Var(Yˆ)=E(X(βˆ−β)(βˆ−β)′X′)000=XE(βˆ−β)(βˆ−β)′X′002−1=σX(X′X)X′00容易证明2−1Yˆ~N(Xβ,σX(X′X)X′)0000Yˆ−E(Y)00~t(n−k−1)−1σˆX(X′X)X′00于是，得到(1-α)的置信水平下E(Y0)的置信区间：−1−1Yˆ0−tα×σˆX0(X′X)X′0

3、预测误差为：e=Y−Yˆ000容易证明E(e)=E(Xβ+µ−Xβˆ)0000=E(µ−X(βˆ−β))00−1=E(µ−X(X′X)X′μ)00=02Var(e)=E(e)00=−′−1′2E(µX(XX)Xμ)00=2+′−1′σ(1X(XX)X)00e0服从正态分布，即2−1e~N(0,σ(1+X(X′X)X′))00022−1σˆ=σˆ(1+X(X′X)X′))e000构造t统计量Yˆ−Y00t=~t(n−k−1)σˆe0可得给定(1-α)的置信水平下Y0的置信区间：−1−1Yˆ0−tα×σˆ1+X0(X′X)X′0

4、Yˆ0+tα×σˆ1+X0(X′X)X′022中国居民人均收入-消费支出二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元，于是人均居民消费的预测值为Ŷ2001=120.7+0.2213×4033.1+0.4515×1690.8=1776.8（元）实测值（90年价）=1782.2元，相对误差：-0.31%预测的置信区间：⎛1.889520.00285−0.00828⎞⎜⎟−1(X′X)=⎜0.002850.00001−0.00001⎟⎜⎝−0.00828−0.000010.00004⎟⎠−1X′(X′X)X=0.393800于是E(

5、Ŷ2001）的95%的置信区间为:1776.8±2.093×705.5×0.3938或（1741.8，1811.7）同样，易得Ŷ2001的95%的置信区间为1776.8±2.093×705.5×1.3938或（1711.1,1842.4）