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1、第三章多元线性回归模型-------拟合优度检验与假设检验一、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数则总离差平方和的分解由于=0所以有：注意：一个有趣的现象-我们有：残差残差平方和：为方便计算，我们也可以用矩阵形式表示R2而将上述结果代入R2的公式，得到：这就是决定系数R2的矩阵形式。判定系数该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大（Why?)这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟
2、合好坏无关，R2需调整。调整的判定系数（adjustedcoefficientofdetermination）在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是：将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。我们有：（1）（2）仅当K=0时，等号成立。即（3）当K增大时，二者的差异也随之增大（4）可能出现负值。是经过自由度调整的决定系数，称为修正决定系数。例1以前面的数据为例，Yt=1+2X2t+3X3t+
3、ut设观测数据为：Y：31835X2：31524X3：54646试求。解：我们有习题.设n=20,k=3,R2=0.70，求。当n=10，n=5时，又是多少。例2.设n=20,k=3,R2=0.70，求。解：下面改变n的值，看一看的值如何变化。我们有若n=10，则=0.55若n=5，则=-0.20由本例可看出，有可能为负值。这与R2不同（）。二、方程的显著性检验(F检验)方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。1、方程显著性的F检验即检验模型Yi=0+1X1i+2X2i+
4、+kXki+ii=1,2,,n中的参数j是否显著不为0。可提出如下原假设与备择假设：H0：0=1=2==k=0H1：j不全为0F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量服从自由度为(k,n-k-1)的F分布给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过F
5、F(k,n-k-1)或FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。对于中国居民人均消费支出的例子：一元模型：F=985.6616（P54）二元模型：F=560.5650（P72）给定显著性水平=0.05，查分布表，得到临界值：一元例：F(1,30)=4.17二元例：F(2,28)=3.34显然有FF(k,n-k-1)即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论由可推出：与或R2R2R2R2在中国居民人均收入-消费一元模型中，
6、在中国居民人均收入-消费二元模型中，三、变量的显著性检验（t检验）方程的总体线性关系显著每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一检验是由对变量的t检验完成的。1、t统计量由于以cii表示矩阵(X’X)-1主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为：其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:因此，可构造如下t统计量2、t检验设计原假设与备择假设：H1：i0给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t
7、的数值，通过
8、t
9、t/2(n-k-1)或
10、t
11、t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变量是否应包括在模型中。H0：i=0（i=1,2…k）例：柯布-道格拉斯生产函数用柯布和道格拉斯最初使用的数据（美国1899-1922年制造业数据）估计经过线性变换的模型得到如下结果（括号内数字为标准误差）：请检验“斜率”系数和的显著性。解：(1)检验的显著性原假设H0：=0备择假设H1：≠0由回归结果，我们有：t＝0.23/0.06=3.83用=24－3＝21查t表，5%显著性水平下，tc＝2.08.∵
12、t＝3.83tc＝2.08，故拒绝原假设H0。结论：显著异于0。(2)检验的显著性原假设H0：=0备择假设H1：≠0由回归结果，我们有：t＝0.81/0.15=5.4∵t＝5.4tc＝2.08，故拒绝原假设H0。结论：显
