55多元线性回归中的假设检验和预测

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1、§5.5多元我性苗归中的假设捻验"和领测线性回归的显著性检验问题：对于模型（5.4-3）y=^q+^ixi+'''+PpxP+£9e~N（0,（7’-）要检验自变量力，*2,…，5与因变量K之间是否显著地具有这种线性联系，做法如下（1）在模型上作假设H=/32^，=Pp=0bH':八不全为0由。组观察值对假设是否成立进行判断，接受则认为r=A+£＞，卜雌a2），即y与〜么，…，^无关，线性回归不显著；拒绝仏则认为线性回归显著。（2）找出检验统计量①先做平方和分解n_总离差平方和为込=艺（乂-力2,（即Lyy二S(X-夕)2=吟2)，取i=lAAAAx=A+我々+…(经验回归平面上对应

2、于第f次观测点处的j值)，则n_Qt—«y)2Z=1naa_=[((乂一乂•)+(乂•一y))2i=A打A一”AA_=-z)2+Z(x—y)2+—x)(z_y)/=1i=li=l其中nAA_flAAAA_AX(x-x)(x-：v)=X(x-Uxi3P~)[(A)-y)+A易i+•i=lz=lA—”AAAAnAAAAn=(3。-y)2L(x-A_Ax/i—PP-A-A心—久~)七1+•••+A2/=1i=li=氺=0步骤(*)的推导：由(5.4-7)式得nAAA工、y「UxiPPxiP、=Qi=lAAA<_A)_AxziPpxip^xi/=1參”AAA乂-A)-夕Ppxi

3、p^xiP=0U=i(5.5-1)从而(*)前的各项均为0.于是«A"八_qt=E(x—x)2+E(x—j7)2i=ii=l(5.5-2)na记&in称为剩余(残差)/=1nA—獻平方和；&=E(do2称为回归平方和。i=则有平方和分解Qt—2®+Q^(5.5-3)其中2剩=2min是由CT2引起的；20是由线性回归引起的。②构造仏成立时的检验统计量由定理4.4.2知，(5.5-4)其中P+1为回归参数的个数。当h。成立时，=于是1；.=^0+£,.,£,〜W),<72)且相互独立，i=1，2,…，n.(M-l)S*2£故有■%=」?玄[(A+6)—(爲+£*)]2=」?玄(€—

4、s)2-(T(T；=i(J；=1由抽样分布定理知F，2("—D(5.5-5)由(5.5-3)、(5.5-4)、(5.5-5)及分解定理知G且20与2剩相互独立，则(5.5-6)2剩/(n-p-1)F(p，n-p-1)其中砧•即2剩/(n-p-l)F(p,n-p-l)(5.5-7)以F为检验统计量③F值的计算mink^)min=(Y-X/3)t(Y-X^/7_QT=L)y=YJ(yi-y)2=nSy=(n-l)Sy29故i=l&-Qt~Q^-Lyy-2min,从而2剩p-)(3)给定确定拒绝域无论回归显著与否M_Qt=£(H)2不变;/=/回归越显著时，Q回_Qt~G^lJt小，v

5、~就越大，从而77—2回/夕2,j/(〃-p-i)也就越大。故应在F值偏大时拒绝仏)，认为回归显著。即：给定显著水平后，取拒绝域为W:F>Fa(p,n-p-1)(5.5-8)(4)列方差分析表来源平方和自由度均方离差F显著性回归剩余总0冋=fir-QninAAQ^=Qmin=(Y-x^T(Y-xfi)QT=Lyy=(n-l)S^pn-p-1n-1*^0=00/P斗=Q剩/(n-p-1)F=t例5.5。1(续例5.4-1)取汉=0.05,检验线性回归的显著性。解：假设MATLAB程序xl=[152183171165158161149158170153164190185];x2=[502

6、02030305060504055404020];x=[ones(l，13);xl;x2]’；y=[120141124126117125123125132123132155147]’；b=inv(x’*x)*x’*y;qt=(13-l)*var(y)qs=(y-x*b)’*(y-x*b)qh=qt-qsn=13;p=2;f=(qh/p)/(qs/(n-p-l))qt=1512qs=81.4301qh=1.4306e+003f=87.8404查表知拒绝域的临界值Fa(pin-p-l)=Fo.O5(2,1O)=4.10,故有来平方和自由度均方离差F显源著性回2回==1430.^P=2==

7、715.3F=87.84显归n_p-1=1讀■=8.1430]著剩余2剩=81.43010n-l:12总和Qt:=1512即在人的身高相等的条件下，其血压J与体重年龄'得线性回归显著。回归系数的显著性检验问题：当拒绝^时，认为回归显著，即回归系数A＞，A，…，人不全为0。那么是否每个自变量6都对r起作用？因此需要检验八是否显著为0G=0,1，2,…，P).1)在模型上作假设Ho:/3j(2)寻找检验统计量由定理5.4.3知P-Pt(n一p—1)jjA(7氺