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1、周期函数与其导函数周期相同的条件贾海峰（郑州幼儿师范高等专科学校河南•郑州450000）文章摘要：可微的周期函数与导函数的周期可以保持不变，但并非完全相同，须满足特定的条件，它们才能够相同.关键词：可微原函数导函数周期性命题：可微分的周期函数，其导函数仍为具有相同周期的周期函数.所谓具有相同周期，当然是指二者周期的集合相同（原函数的周期一定是导函数的周期；反Z,导函数的周期一定是原函数的周期），或者二者最小止周期相同.文献1中给出的“证明”,是由/（x+T）=/（x）得广（x+T）二广⑴⑴，这只能说明原函数的最小正周期卩是导函数的一•个周期，即对导函数的最小正周期厂而言，有t=kt'（K为正
2、整数）.至于卩是否为导函数的一个周期，即是否r=r,并未得证，尚需证厂一定也是原函数/（劝的一个周期：/u+r）=/（%）,才有丁二厂.许多书上的证明多时如此.本文将指出「口J微周期函数与其导函数最小正周期并非一定相同；同时，提出一个周期相同的一个充分条件.一、现举一反例我们约定丿表示整数集合，/?表示实数集合，E（Q表示不超过兀的最大整数.例1设D={xxeR—J,xwk+丄，展J}•考察定义在D上的函数2/(%)=%-£(%).与止切函数类似，虽然/（兀）在7?上有可列间断点，但/（兀）在其定义域D中每点连续可微.首先，+不会是/（朗的周期，这只要取+有xogD,/（x0）=
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4、1xo+2=^+4G°'=4'便有/（兀（）+空）工/（兀（））・/•⑴的导函数f（x）=1,丄是广（兀）的一个周期•因为,对任意xeD,x+gwD,/©）=/©+*）=1.这样，我们已经得到/⑷与/"（Q周期集合不同，自然，最小正周期就不会相同•当然，我们也可以分别证明，/（x）最小正周期为1,八兀）最小正周期为丄.通过/(兀)与广⑷的图像来对比，结论也是非常明显的(如图1)-2-10yA1234仞J2设D={xxeR-J}察定义在D中的函数同样，/(x)的导函数fx)=2[x-E(x)],xeD.可以例i一样,验证i是尸(兀)的周期而不是yx兀)的周期,从而二者周期不同•不过，现在我们
5、釆用另外的办法，证明/(兀)的最小正周期为2,而广(兀)的一个周期为1,则广(劝的最小正周期厂si,wr,且1+(_])l+E(x+2)/(兀+2)=[(x+2)-E(x+2)F+—1I(_]l+E(x)+2=[x+2-E(x)-2]2+L)卄如+呼^=fM可知，2是/(%)的一个周期•再证任何一个小于2的正整数£不会是f(x)的周期.若E=1.对任漣xwD，也有x+1gD,但1+/_])1+E(x+1)/(x+l)=[(x+l)-E(x+l)]2+—1丄/i2+E(x)卄恥)『+若1,0V£V2,不会对一切兀wD,冇/（%+£）=/（
6、X）•比如，对X=2—D,因兀+£=2—£+£=2纟D,便＞[7会有/(%+£)=/(兀).故/(兀)的最小正周期T=2.再看导函数fx)=2[x-£(%)]•对任&xeD,有x+1gD,且(兀+1)=2[尢+1—£(兀+1)]=2[x-E(x)]=fM于是,若厂为/©)的最小正周期，冇厂＜1＜2=T.类似的例了还可举出很多•总Z,在定义域内每点可微的周期函数与其导函数的最小正周期并非总是相同•至于周期相同的例子则处处可见，本文不再例举,现只给出周期相同的一个充分条件.二、周期相同的一个充分条件反例给我们提示，在整个/?中可微的周期函数与其导函数很可能周期必然相同.引理1任意一个非常值连续
7、周期函数必冇最小正周期®引理2对具有最小正周期T的周期函数/（%）,若厂也是/（兀）的一个正周期，则厂=KT（K为正整数）⑶.定理非常值周期函数/⑴在R上冇定义冃在每点存在连续导函数fx）.则fx）也为周期函数,并且/（兀）与广（兀）周期相同⑷.证明口J微必连续，由引理1,/（兀）就有最小止周期，设为即对任意无wR,求导(1)r（x+T）=r（x）可见,广（兀）也是r上的周期函数,又广（兀）已知连续,再由引理1,/©）也必冇最小正周期厂•由（1）式，7是广（兀）的一个周期，据引理2,T=K「（K为正整数）.下面，要证K=l.因广（兀）连续，对任意x（）e7?,据牛顿一来卜尼兹公式，得广呗
8、）心FmJxoJ心=/（xo+T）-/（xo）=O由积分域可加性，有f：+'/W=tfX，,/Wr=0（2）实行积分替换+1）厂，并由厂是广（兀）的周期，得：r:：、7/⑴力=r+T，广〔”+（'一1）厂］创Jx°+（l1）7JxqfXu)du=J*f(t)dtJ勺Jx()(心2,3,…，K)（2）式变为:再由牛顿一来卜尼兹公式，‘曲广⑴力=/（兀0+厂）-/（兀）=0/（%0+r）=/（x0）知厂是/（兀）
