数值分析课件11

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1、迭代法适用于求解大型稀疏的线性方程组，其基本思想是通过构造迭代格式产生迭代序列，由迭代序列来逼近原方程组的解，因此，要解决的基本问题是：1.如何构造迭代格式2.迭代序列是否收敛第五节线性代数方程组的迭代解法一.基本迭代法的格式及收敛性二.几种实用的基本迭代法三.应用实例一.基本迭代法的格式及收敛性设有线性代数方程组a11x1+a12x2+····+a1nxn=b1a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2.....................an1x1+an2x2+····+annxn=bnA=M+NM的逆好求。Ax=b(M+N)x=bMx=-Nx+bx=-M-1Nx+M-1b用

2、矩阵表示：Ax=bA为系数矩阵，非奇异且设aii≠0；b为右端，x为解向量注：分解A是一个重要问题在Rn中，点列的收敛等价于每个分量的收敛。即二.几种实用的基本迭代法1、Jacobi迭代法2、Gauss-Seidel迭代法3、超松弛迭代法（SOR)4、对称超松弛迭代法（SSOR)5、块超松弛迭代法（BSOR法）1、Jacobi迭代Jacobi迭代矩阵推导其分量形式第i个方程除以aii(i=1,2,…,n),得Jacobi迭代的分量形式则x(k+1)=BJx(k)+g，这里BJ=D-1(L+U),g=D-1bJacobi迭代公式（分量形式）给出初始向量x(0),即可得到向量序列：x(1),x(

3、2),…,x(k),…若x(k)→x*,则x*是解。例1：设方程组为解：Jacobi迭代格式为试写出其Jacobi分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。故Jacobi迭代矩阵为取x(0)=(0,0,0)t,e=10-3,终止准则：‖x(k)-x(k-1)‖

4、x(0),即可得到向量序列：x(1),x(2),…,x(k),…若x(k)→x*,则x*是解。Ab.ma(1,1)=1/2+1/4+1/3;a(1,2)=-1/4;a(1,3)=-1/3;a(2,1)=a(1,2);a(2,2)=1/4+1/3+1/5;a(2,3)=-1/5;a(3,1)=a(1,3);a(3,2)=a(2,3);a(3,3)=1/3+1/5+1/3;b(1)=20/2;b(2)=0;b(3)=5/3;function[x,k]=gs(A,b)[nn]=size(A);x=zeros(1,n);fork=1:1000error=0;fori=1:ns=0;xb=x(i);f

5、orj=1:nifi~=j,s=s+A(i,j)*x(j);endendx(i)=(b(i)-s)/A(i,i);error=error+abs(x(i)-xb);endiferror/n<0.0001,break;endendfprintf('k.no.=%3.0f,error=%7.2e',k,error)

6、A

7、=12+4-15=1,

8、2D-A

9、=12-4-15=-7例:讨论用Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b时的收敛性，已知解:(1)对A：不是严格对角占优的矩阵，无法用充分准则I，(2)考虑充分准则II，计算Jacobi迭代矩阵BJ=D-1（L+U）=I-D-1A不满

10、足充分准则II，故无法判断。先求出Gauss-Seidel迭代矩阵BG=(D-L)-1U(3)考虑用定理2的充分条件不满足定理2的充分条件，故无法判断。(4)再用定理1的充要条件例:讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b时的收敛性，如果收敛，并比较哪种方法收敛较快，其中解:(1)对Jacobi方法，迭代矩阵(2)对Gauss-Seidel方法，迭代矩阵Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快。3、超松弛迭代法（SOR法）以三阶方程为例，推导超松弛迭代法（SOR法）的分量形式SOR迭代公式（分量形式）推导SOR迭代格式的矩阵形式（以三阶方程为例）

11、推导SOR迭代格式的矩阵形式SOR法收敛性的结论：（1）SOR方法收敛的必要条件为0<<2（2）若系数阵A对称正定，则当0<<2时，SOR方法收敛（3）若系数阵A严格对角占优，则当0<1时，SOR方法收敛。在计算机上采用动态计算形式(1)x(i)=0(i=1,2,…,n)(2)对k=1,…,Kmax,循环计算到第(7)步(3)置ER=04、对称超松弛迭代法（SSOR法）SSOR迭代法的矩阵形式：注：（