数值分析求根-11

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1、第2章非线性方程的求根方法2.1二分法设fM=°在区间中只有一个根且满足fW（b）＜o,则二分法求根过程为：记io=[a,b],取/（）的中点x0=0.5（a+b）f若/（兀）=0,则x*=x0.若/U0W）＜0,则xe[a,x0]f取h=[a,xQ].、若心）/⑷＞0,则化[訥,取.厶=[角,勺],取厶的中点西=0.5@i+勺）,若/（^）=0,则%*=%1；若心/（坷）＜0,则化⑷,和,取厶=%和；记，2=[。2'2]…这样获得近似根序列心召，…，兀，…,满足(2.2)1*于是当k—g时，由盯少-q）t0得到境7兀・二分法算法简单，收

2、敛，但收敛速度较慢.2.2简单迭代法将方程/«=0等价变形为x=(p(x),获得迭代计算公式忑+1=0(无)取定一个初值兀()，由迭代公式算出数列兀1=0(兀0),x2=0(旺若limxfc=/,则足够靠后ks的®可作为根的近似值.由上述得出比｝称为迭代数列，函数0(力为迭代*函数，如上求根方法称为简单迭代法.对根X,有*x=(p(x),0变不动它，点X形象的称为0(对的不动点，称方程兀=0(x)为不动点方程・例1求方程f(x)=x3-x-=0在X°=l・5附近的根.定理1设迭代函数^x)eC[a.b]满足条件1■当xe[a,b]时,有

3、(p(x)E[a,b]；2•存在正常数L<1,使对任意Xi"都有(p(x{)-(p(x2)

4、

5、=沁）-0（〃）k亦-“I

6、小]中有唯一的不动点，记为X・由F是不动点、迭代格式及条件2,有xk一％1=

7、0（兀_1）一0（兀*）

8、<厶k_i<厂1无_2-兀*k…§出兀°注意到oVQV1,在上式中令k—g,可得Z?to,则0（兀）在[。力]中有唯一的不动点迭代公式耳+1=0（无）对任取兀0w[d，b],产生的数列｛©｝都收敛于八证明易证迭代函数^x）EC[a,b].作辅助函数gx）=x-（p（x）显然肖⑴wC["]・由条件1知屮(b)<0由中值定理，至少存在一个使0（$）=0,即g=W这说明O⑴在[讪上有不动点二如0（兀）在[⑦切上还有一个不动点〃，有〃利用条件2

9、,有g-〃

10、=沁）-0（〃）k亦-“I

11、0（兀_1）一0（兀*）

12、<厶k_i<厂1无_2-兀*k…§出兀°注意到oVQV1,在上式中令k—g,可得Z?to,有也创勺―分1=0,因而有*1•*limxk=xPtoo定理得证.*/L兀-Xk<~XkXk_x1-Lkk1定理2设定理1的条件成立，则有如下误差估计式*兀—Xk<1-L£-x012证明只证1.由迭代公式和定理2.1的条件，有=”（兀）-忑

13、*—X、*>X、*>x

14、=b（兀）一0（兀*）+曲）一Xk—Xk+（p{xk）-（p{x）—兀』一”（兀）—0（兀）—xk

15、—lIx^—x1=（1—L）

16、x—xk因为0<厶<1,所以有*■1X—Xk<1-L嫌+1-Xk另一方面~xk-存在正常定理2.1的条件2对任意x{,x2e[a,b]（px）

17、于％上1均收敛于V2.习题3利用适当的迭代格式证明lim>0000习题4证明对任何初始值xoeRf由迭代公式兀+i=cos%£=0,12…所产生的序列FL。都收敛于方程X=COSX的根.