数值分析-6方程求根

《数值分析-6方程求根》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第6章方程求根本章内容616.1根的搜索1.1光波的特性6.2迭代法6.3Netwon1.2光波在介质界面上的反射和折射法6.4弦截法与抛物法6.51.3代数方程求根光波在金属表面上的反射和折射2本章要求•主要内容：迭代原理、迭代过程的加速、牛顿法、弦截法。•基本要求–(()1)会用二分法求解非线性方程的根。–(2)理解迭代法的基本思想及收敛性；会用迭代法求解非线性方程的根。–(3)了解收敛阶的概念。–(4)掌握牛顿法与弦截法。•重点、难点–重点：理解迭代的基本思想；–难点：收敛性的判断。3616.1根的搜索

2、科学技术中常遇到高次代数方程或超越方程的求根问题。大于4次的代数方程无求根公式。——因此需要研究函数方程求根问题的数值方法。求方程f(x)=0的根或零点——x*4616.1根的搜索求根问题包括下面三个问题：•根的存在性：即f(x)=0有没有根？若有，有几个根？•在哪儿有根？确定有根区间•根的精确化：已知一个根的近似值后，能否将它精确到足够精度？本章假设f∈C[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上至少有一根，[a,b]即为有根区间。问题1、2得到解决。5616.1根的搜索6.1.1逐步搜索法设

3、f(a)<0,f(b)>0，有根区间为(a,b)，xx*x=ak-10从x0=a出发，按某个预定步长(例如xkbh=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行步进行一次根的搜索次根的搜索，即判别①简单；f(xk)=f(a+kh)的符号，若f(xk)>0(而②对f(x)要求不高f(x)<0),则有根区间缩小为[x,x](只要连续即可)；k-1k-1k③只要步长h足够小，(若f(x)=0，x即为所求根),然后从xkkk-1可达到任意精度.出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：

4、x-x

5、

6、无法求复根及偶重根；kk-1*②计算量大，收敛慢.此时取x≈(x+x)/2作为近似根。kk-16616.1根的搜索6.1.2二分法(逐步搜索法的改进)设f(x)的有根区间为[a,b]=[a,b]，00f(a)<0,f(b)>0.axx*将[a0,b0]对分，中点x0=(a0+b0)/2，1xb计算f(x),20若f(x)=0,x*=x00<0,有根区间:[a,b]=[x,b]110>0,有根区间:[a,b]=[a,x]110对[a,b]对分，如此反复进行，得到一系列有根区间：117616.1根的搜索[,][,

7、][,]ab⊃⊃⊃abab""⊃⊃[,]ab1122kk其中每个区间都是前一个区间的一半，因此b−ab−akk−−11ba−==="→→0,k∞kkk22{ababkkkk}↑↓<>,,,,{}ba∗∗∗⇒∃xs,..tbtlima=lim,b=xandf()x=0.kkf(ak)≤0,f(bk)≥0,x*即为所求近似根。f(x*)=limf(ak)=limf(bk)8616.1根的搜索取x=(a+b)/2([a,b]的中点)，显然有limx=x*.kkkkkk——算法和收敛性说明。什么时候停止？xx*aa1

8、xbb2xx−<ε或fx()<εkk+11k2每次缩小一倍的区间，收敛速度为1/2，较慢，且只能求一个根，使用条件限制较大，ε2x*x不能保证x的精度kk的精度9616.1根的搜索误差分析a+bb−a第1步产生的x1=有误差

9、x1−x*

10、≤22b−a第k步产生的x有误差

11、xk−xx

12、*

13、≤kk2对于给定的精度ε，可估计二分法所需的步数k：ba−⎡⎣ln(ba−−)lnε⎤⎦<⇒>εkk2ln2①简单，总收敛;②对f(x)要求不高(只要连续即可).①无法求复根及偶重根②收敛慢10616.1根的搜索32例1、用二

14、分法求x+4x−10=01−2在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过×102解：f(1)=-5<0有根区间中点xnx=1.5f(2)=14>0-(1,2)+1x=1.25f(1.5)>0(1,1.5)2x=1.375f(1.25)<0(1.25,1.5)3x≈1.313f(1.375)>0(1.25,1.375)4f(1.313)<0(1.313,1.375)x5=1.344f(1.344)<0(1.344,1.375)x6≈1.360f(1.360)<0(1.360,1.375)x≈1.3687f(1.36

15、8)>0(1.360,1.368)x=1.364811616.1根的搜索*若取近似根xx==13641.364，则8*211−

16、

17、

18、xx−≤

19、(13681360)(1.3681−.360)=00040.004<×10（事后估计）2212616.1根的搜索例2、利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解.（精确到0.1）解：画出y=lgx及y=3-x的图像，观察图像得，方程lgx=3-x有唯一解，记为x