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时间：2018-09-19
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第2章非线性方程的求根方法2.1二分法设在区间中只有一个根，且满足，则二分法求根过程为：记，取的中点，若，则；若，则，取；若，则，取.记，取的中点，若，则；若，则，取；若，则，取.记这样获得近似根序列满足（2.2）于是当时，由得到.5 二分法算法简单，收敛，但收敛速度较慢.2.2简单迭代法将方程等价变形为，获得迭代计算公式取定一个初值，由迭代公式算出数列，若，则足够靠后的可作为根的近似值.由上述得出称为迭代数列，函数为迭代函数，如上求根方法称为简单迭代法.对根，有，变不动它，点形象的称为的不动点,称方程为不动点方程.例1求方程在附近的根.定理1设迭代函数满足条件1.当时，有；2.存在正常数，使对任意都有5 则在中有唯一的不动点，迭代公式对任取，产生的数列都收敛于.证明易证迭代函数.作辅助函数显然.由条件1知由中值定理，至少存在一个，使，即，这说明在上有不动点.如果在上还有一个不动点，有，利用条件2，有矛盾，这就证明了满足定理条件的在中有唯一的不动点，记为.由是不动点、迭代格式及条件2，有注意到，在上式中令，可得，有，因而有5 定理得证.定理2设定理1的条件成立，则有如下误差估计式12证明只证1.由迭代公式和定理2.1的条件，有因为，所以有另一方面5 代入上式得结论1.定理2.1的条件2对任意，存在正常数满足不易使用。实用中此条件常用，代替.5 习题1给出适当的迭代方法求方程在区间[0,1]及[2,3]内的根.习题2证明用迭代格式产生的序列对于均收敛于.习题3利用适当的迭代格式证明习题4证明对任何初始值，由迭代公式所产生的序列都收敛于方程的根.5
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