全纯函数涉及分担值的正规定则-四川师范大学

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1、全纯函数涉及分担值的正规定则张海侠'(许昌学院数学与统计学院，河南许昌461000)摘要:应用Zalcman引理研究了全纯函数的正规族，得到了如下的结论:设F是区域D内的一族全纯函数，a是一非零有穷复数，若对于每个/(z)gF，若F满足：(l)/(z)=0n//(z)=d,f⑵=an严(z)=H/rO),则F在D内正规.⑵k为一整数,b为一正数，/⑵=0/⑵=d,/‘⑵=dn『⑹⑵卜/,，则F在D内正规.关键词：全纯函数;整函数;正规族中图分类号：0174.52文献标识码：ANormalityofafamilyofholomorphicfunctionsZHANGHai-xia1(Schoo

2、lofMathematicsandStatistics,XuchangUniversity,Xuchang461000，China)Abstract:UsingtheZalcmanlemma^thenormalityoffamiliesofholomoiphicfunctionswasstudied,andthefollowingtworesultswereobtained.Thenoveltheormsshowthat:LetFbeaclassofholomorphicfunctionsinadomainD,abeanonzerofiniteplural,ifforevery/(z)GF,

3、IfFsatisfies:(1)/(z)=0(z)=d,/Z(z)==>/'(z)=0),thenFisnormalinthedomainD(2)kbeaintegerandk>2,bbeapositivenumber,/(z)=0=>/(z)=aff(z)=g=>

4、/(k)(z)

5、

6、：张海侠(1981-),女，河南南阳人，讲师，硕士，主要从事复方程与复分析研究.定理屮⑵设F是区域D内的一族全纯函数，d是一非零有穷复数,若对于每个/gF,ff和.f〃在D内分担a,则F在D内正规.本文对以上结论进行推广，得到了以下结论：定理1设F是区域D内的一族全纯函数，d,b是非零有穷复数，若对于每个f(z)gF,有/(z)=0n/'(z)=a,/'(z)=an/〃(z)=b,则F在D内正规.定理2设F是区域D内的一族全纯函数，。是一非零有穷复数，k»2为一整数,b为一正数，若对于每个/(z)gF,有/(z)=0/(z)=a,f/(z)=an『(k)(z)

7、

8、主要引理为便于叙述并讨论本文的主要结果，在此给出相关的定义及引理-4.定义设/、g为复平面C上的解析函数，a为任一复数，如果/(£)-«的零点为J(nh,2..・)，如果z”5=1,2,…)也是g(z)的零点(不计重数)，则记为/•(z)=a=>g(z)=d.引理1⑶(ZaIcman引理)设F是单位圆盘△上的亚(全)纯函数族，展N,F中任一函数/(z)的零点重级至少为k.设存在A>1,使得对任意的/(z)gF,/⑵=0=>f(k)(z)

9、5A,如果F在△处不正规，则对于任意的0

10、面距离一致收敛.其中g为c上的亚(全)纯Pn函数，满足g々G5g#(o)=M+i,这里g#(G=

11、g@)

12、/(i+

13、g(G『)为球面导数引理2⑷(Hurwitz定理)设函数序列｛/„(z)｝在区域D内解析，并且在D内闭一致收敛到一个不恒为零的函数，卩是D内可求长的闭曲线，其内部属于D,且不经过/(z)的零点，则存在正整数N，使得当n>N时,在卩内部，fn(z)和/(z)的零点个数是相同的.引理3⑸设/(z)为复平面上的亚纯函数,若它的球面导数在平面上一致有界，则/(z)的级至多为2.若/(z)全纯，则f(z)的级至多为1•引理4⑹设g是一个非常数的整函数，其级p(g)<1,k>2是一整数；a

14、是一非零有限常数.若g(z)=0=>g(z)=°,g，(z)=dng⑷(z)=0，则有g(z)=a(z一z()).其中z()是常数.3结论的证明定理1的证明对任意的D,不妨设△为单位圆盘，假设F在ZOGA处不正规，则根据引理1,存在函数列｛九⑵｝UF,点列Z”TZ。，正数列pnT0+,使g«)=p：x+0G)］在复平面C上依球面距离内闭收敛于一个非常数的全纯函数g(g),且满足g#C)5g#(O)=0

15、+2，