涉及其例外函数的一个正规定则

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1、摘要设厂为区域Ｄ内的一族全纯函数，若对于厂中的每一个函数，，，的零点重级≥ｋ＋１，且，（奄’（ｚ）≠ｚ，ｋ≥１，则厂在区域Ｄ内正规．关键词：全纯函数，正规，零点，重级．ＡＢＳＴＲＡＣＴＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔ｝ｂｅａｆａｍｉｌｙｏｆｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｎｔｈｅｐｌａｎｅｄｏｍａｉｎＤ。ａｌｌｏｆｗｈｏｓｅｚｅｒｏｓｈａｖｅｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙａｔｌｅａｓｔｋ＋ｌ，ａｎｄｓａｔｉｓｆｙｉｎｇｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，（七）（ｚ）≠ｚ，后≥１，Ｔｈｅｎ厂ｉｓｎｏｒｍａｌｉｎ

2、Ｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ，Ｎｏｒｍａｌｉｔｙ，ＺｅｒｏⅡｐｏｉｎｔ，Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ．学位论文独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，进行的研究工作及取得的研究成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人撰写过的己公开发表或未公开发表的研究成果，对本文所涉及的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确的方式标明并表示谢意．本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担．学位论文作者签名：斗培易２口口窖年６月彦日学位论

3、文使用授权声明本人完全了解华东师范大学有关收集、保存、使用学位论文的规定．同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，并采用影印、缩印、扫描、数字化和其他手段保存论文：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制或全部内容用于学术活动并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版．保密的学位论文在解密后适用本规定．学位论文作者签名：牛譬廖导师躲忿晰７．－口０２

4、年‘月‘日；２．ｏｏＰ年６月占日第一章引言第一章引Ｉ言十九世纪末期，数学家Ｅ．Ｐｉｃａｒｄ和Ｅ．Ｂｏｒｅｌ对于整函数和亚纯函数的根进行了研究，并且取得了一系列突出的结果，他们的工作以及后来的一系列数学家的贡献，构成了整函数和亚纯函数值分布论的基础．在值分布论的发展中，Ｒ．Ｎｅｖａｎｌｉｎｎａ做出了巨大的贡献．他在１９２５年引入了亚纯函数的特征函数，并且建立了Ｎｅｖａｎｌｉｎｎａ第一和第二基本定理，特征函数的概念和这两个定理在很长时间内成为了值分布论的基础．在二十世纪初，Ｐ．Ｍｏｎｔｄ引入了正规族的概

5、念，正规族本质上是一族全纯函数或者亚纯函数的列紧性．Ｍｏｎｔｅｌ将函数族的的正规性和函数族的取值联系起来，建立了著名的Ｍｏｎｔｅｌ正规定则．在函数族正规性的判断上，很长一段时间以来都是采用直接计算的方法，通过判断函数族的球面导数是否内闭一致有界来实现的．直到以色列数学家Ｚａｌｃｍａｎ提出了Ｚａｌｃｍａｎ弓Ｉ理，提出如果函数族厂不正规，那么可以在原函数族的基础上构造一列函数内闭一致收敛到Ｃ上的某个非常值亚纯函数，这样就可以用反证法来研究一些正规族的问题．庞学诚教授对该定理做了重要的也是实质性的推广，使之可以运用到

6、导函数上，从而可以用来研究涉及导数的正规族的判定问题．定义１．１设厂为区域Ｄ内的一族全纯函数．如果从厂中任一函数序列厶（ｚ）均可选出它的一子序列厶。（名）在该区域Ｄ上内闭一致收敛到一个全纯函数或内闭一致趋于１９０，则称厂在区域Ｄ内正规．定义１．２设ｆ（ｚ）在区域Ｄ上解析，则ｆ（ｚ）在点２：０∈Ｄ的球面导数为饩神气１为，（ｚ）与，（询）的球面距离・因此弗早ｊ苗ｌ～ｉｍ斜戌小三溉背＝并器其中ｌ，（ｚ），ｆ（ｚｏ）１２了弄页２１ｆ而（ｚ）－、ｆ伍（ｚｏ丽）ｔ第一章引言定义１．３设芦为区域Ｄ内的一族亚纯函数．如果从厂

7、中任一函数序列厶（ｚ）均可选出它的一子序列厶。（名）在该区域Ｄ上按球面距离内闭一致收敛，则称厂在区域Ｄ内正规．在讨论函数族的正规性时，开始是关于函数族中的函数或其导数不取固定常数的研究，例如Ｈａｙｍａｎ关于正规定则的猜想在上世纪七八十年代全部得以证明，得到了一系列Ｐｉｃａｒｄ型正规定则．后来拓展到关于函数族中的函数或其导数不取固定函数的研究，下面是关于这方面内容的几个定理（见［２，３，４】）：定理１．１设厂为区域Ｄ内的一族亚纯函数，七是一正整数，厅（ｚ）（≠ｏ），在区域Ｄ内全纯且它的零点均为重级零点，若对于厂中

8、的每一个函数，，，的零点重级≥ｋ＋２，且．厂（七）（ｚ）≠ｈ（ｚ），则厂在区域Ｄ内正规．定理１．２设厂为区域Ｄ内的一族亚纯函数，ｋ是一正整数，危（名）（≠ｏ），在区域Ｄ内全纯，若对于，中的每一个函数，，，的零点重级≥ｋ＋２，极点均为重级极点，且，（功（ｚ）≠ｈ（ｚ），则厂在区域Ｄ内正规．定理１．３设厂为区域Ｄ内的一族亚纯函数，ｋ是一正整数，＾（名）（≠０），在区域Ｄ内全纯，若对于厂中的