关于全纯函数分担值的正规族一点注记

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1、关于全纯函数分担值的正规族一点注记刘礼培*基金项目：重庆市教育委员会科学技术研究项目（KJ101201）；作者简介：刘礼培（1980—），男，江西萍乡人，副教授，主要从事复分析研究1（重庆文理学院数学与统计学院,重庆永川,402160）摘要：研究了全纯函数分担值时的正规族问题，得到了：设是区域内全纯函数族,是正整数,为复常数,对任意的，的零点重级至少为3，如任意的有和分担值，则在区域内正规．关键词：全纯函数；正规族；分担值[中图分类号]O174.52,[文献标识码]A设是复平面上一区域，是区域的函数族，如果对任意的函数列，存在子列内闭一致收敛到一亚纯函数或，则称在区域上正规。自从W.Sc

2、hick证明函数与其一阶导数分担三个不同复常值时函数族正规的结论以来，已经得到了一系列的关于函数分担值的正规定则[2，4，6，7]．在1959年,文献[1]证明了：定理A[1]：为一超越亚纯函数，为一非零复数，为一正整数，则取任意有限复数无穷多次．相应于定理A,文献[2]证明了如下定理．定理B[2]：设是区域内一亚纯函数族，是正整数，是两个复常数，如果对任意有和分担，则在区域内正规．考虑与定理A类似的问题，在2008年,文献[3]证明了：定理C[3]：为一超越亚纯函数,为一非零复数，为一正整数,则取任意有限复数无穷多次．一个很自然的问题，是否有与定理C相对应的分担值时的正规定则？这里，我

3、们就全纯函数讨论了这个问题，得到了：定理1：设是区域内的全纯函数族，是正整数，对任意的，的零点重级至少为3，如任意的有和分担值，则在区域内正规．例1：设，这里的，显然在单位圆内不正规，但对任意的，有=，所以有和分担0（这里取）．说明是必要的．1、引理为了证明我们的结论，我们需要下述引理．引理1[4]：设是单位圆盘上的亚纯函数族，是正整数，对于每个，的所有零点的重数至少为．存在一个数，使得且时，．如果在不正规，则对，存在（１）一个数；（２）复数列；（３）函数列；（４）正数列使得关于按球面度量局部一致收敛于上的非常数的亚纯函数，其零点的重数至少为，且．注：在引理１中，如果，则对的假设可以取消

4、．引理2[5]：设是复平面上的超越亚纯函数，是一正整数，如果的零点重级至少为３，则取任一非零常数无穷多次．2、定理的证明定理的证明：假设在区域内不正规，则至少存在使得在不正规，不失一般性，不妨设．分两种情况讨论情形１：．令，由引理１，存在实数，点列，正数列和函数列使得按球面距离一致收敛于复平面上的非常数整函数，其级至多为１且零点重级至少是３．分三种子情形来讨论：情形1.1：．由定理３知道，不可能为超越整函数，否则取其他任意非零有限复数无穷多次．则为多项式函数，又的零点重级至少是３，设，则．又因为，则有，得到，即，矛盾．情形1.2：．所以．由于是整函数，所以有，为整函数．则，从而为常数，考

5、虑这与，不可能为常数，矛盾．情形1.3：至少存在一点使得．我们可以断定只有一个零点．否则，假设存在两个不同的零点和，且当充分小时，有，这里和．因为一致收敛到，由Hurwitz’s定理，存在点列，当充分大时有又由条件函数族中的任意函数对和分担，知对任意的正整数有：固定，令，有，，则，由于的零点没有聚点，所以，，从而，．由，得到，矛盾．所以有且仅有一个零点，不妨设为，由于零点重级至少是３，则也至多有一个零点．由定理C知，为非常数多项式函数，所以存在零点．得到．代入得由，显然至少有两个零点，矛盾．情形２：．由引理１，存在函数列，实数，点列，正数列使得按球面距离一致收敛于复平面上的非常数整函数，

6、其级至多为１且零点重级至少是３．分三种子情形来讨论：情形2.1：．则为多项式函数且次数至多为１，与零点重级至少是３，矛盾．情形2.2：．设是的不同根，所以有，由Picard定理，为常数，则为多项式函数且次数至多为１，与零点重级至少是３，矛盾．情形2.3:有解．我们可以断定有且只有一个零点．否则，假设存在两个不同的零点和，且当充分小时，有，这和．由于一致收敛到．由Hurwitz’s定理，存在点列，当充分大时有又由条件函数族中的任意函数对和分担，知对任意的正整数有：固定，令，有，，则，由于的零点没有聚点，所以，，从而，．由，得到，矛盾．因此只有一个零点．由引理2知，为多项式函数，且不为常值函

7、数．又零点重级至少是３，也只有一个零点，不妨设．代入得显然有个根，矛盾．所以在区域内正规．参考文献：[1]W.K.Hayman.Picardvaluesofmeromorphicfunctionsandtheirderivatives[J].Ann.ofMath，1959,70:9-42.[2]ZhangQingcai.Normalfamiliesofmeromorphicfunctionsconcerningsharedvalue