骆攀《矩阵初等变换的应用》

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1、矩阵初等变换的应用骆攀［摘要］从矩阵初等变换的定义出发详细地总结了矩阵的初等变换在线性代数、初等数论、数学分析求函数极值、经济交易系统的价值、生物营养、化学方程式配平、判断平面彳立置关系等方面的一些应用.［关键词］矩阵；初等变换；秩；基1引言矩阵是大学数学学习过程中的一个重耍内容，是线性代数研究的主要对彖，也是数学很多分支研究及应用的重耍工具.矩阵源丁•某一问题的有关联的数据所组成的矩形数表，最早来源方程组的系数及常数所构成的方阵，毫无疑问为解方程组帯来了方便，随着矩阵理论的发展，新的概念不断产生，新的问题也随着产生，如比较抽彖的问题能够用矩阵表示出来，建

2、立数学模型求解，初等变换能够把各种复杂的矩阵转化成需要的矩阵形式，使计算变得更加简洁，并且便于应用等等.关于初等变换的应用，虽然前人得出了很多有价值的结论［1-6］,但是它的运用局限r线性代数，Ku「l述是凌散不系统的，没有较完整的书籍或文章详细的叔述总结初等变换的应用.因此，本文综合前人在初等变换方面的研究，对初等变换的相关理论成果做全面的梳理整合，使初等变换的理论与应用更金面、细致，方便学者系统地了解初等变换在不同领域的运用，加深对初等变换的理解，以便学者今后在学习生活小能够更加灵活地运用初等变换去解决一些实际问题，服务于生活，便初等变换不仅在数学领域

3、发挥作用，在其它科学领域中还能发挥更大的作用.定义1⑺下面三种初等行（列）变换称为矩阵的初等变换：对调矩阵两行（列）；用任意数20乘矩阵的某一行（列）屮的所有元素;（1）换法变换（2）倍法变换（3）消法变换：用数k乘矩阵的某一行（列）的所有元素加到另一行（列）的对应元素上去.2初等变换在线性代数中的应用2.1将矩阵化为阶梯形和等价标准形任意一个矩阵A,经过有限次初等变换总可以化为阶梯形矩阵，进而化为最简阶梯形矩阵.任意一个mxn矩阵A,总可以经过初等变换把它化为标准形.2.2初等变换求逆矩阵用矩阵的初等变换求逆矩阵的基本方法如下：方法一：［A:日聞彳邸》［

4、e:A".方法三:只用列变换、■E_EA'1■■方法二初等变换〉-EA-E0QoAE0E[-Q0_「0QP[EPEP-Q0PEE0Q2.3初等变换求矩阵的秩R行阶梯形矩阵B是非零行的，那矩阵的秩:若矩阵A经过初等行变换化为行阶梯形矩阵B,么行数就是矩阵A的“秩”.定理1⑺矩阵经初等变换后，其秩不变，即若A~B,则R(A)=R(B)._1234例1求4=1-235的秩.1212■解因为1234「1234二1-2350-4011212_00-2-2所以/?(A)=3.判断两个向量组是否等价设向量组坷卫2,…，见与向量组勺厶，…，切，判断它们是否等价同，可先构造

5、矩阵通过初等变换求出矩阵［&B］的秩,若r(A)=r(B)=r(A,B),则向量组a®…S与向量组q,$,…，切等价.例2已知向量组I:©二(0,1,1)丁，6Z2=(l,l,O)r和向最组II：0产(一1,0,1)丁，/?2=(1,2,1)属=(3,2,-l)r.判断向最组I和向最组II是否等价.解记人=($,心2)和B=(0］,02,禹)'根据上述方法,只要证r(A)=r(B)=r(A,B),为此把矩阵［A,3］=［0,。2，0

6、，02，03］用初等变换化为阶梯形矩阵：~01-113__1011[AB]=11022T>01-1131011-101-1

7、13由此可知,r(A)=r(B)=r(A,B)=2,故向量组I和向量组II等价.2.5解线性方程组2.5.1求齐次线性方程组的解方法：先写出齐次线性方程组的系数矩阵，然后利川初等行变换将系数矩阵A化为阶梯形矩阵,求出系数矩阵的秩&A).若/?(A)=n,则Ax=0只有零解.若/?(A)5则Ax=O有非零解;最后对阶梯形矩阵施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，以非零行首个非零元对应的r个未知量为基本未知量，其余的r个未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分别令自由未知量中一个为1,其余全为0,求得Ar=O的

8、基础解系：e’E，…4_；斤一『个解向量的线性组合就是Ax=0的通解冏，即初等行变换〉AX=B,若A可逆，则X=A'Bf初等变换法即［AB］.(2)XA=B,若A可逆，则X=,初等变换法即~T初等列变换、~~E~2BBA'1X=如+k2a2+…+kn_f.an_r(人,心，…,心+为任意常数).2.5.2求非齐次线性方程组的解_非齐次线性方舉组的求解步骤如下切：首先写出Ax=b的增广矩阵几并把它化为行阶梯形;若7?(A)R(A),则方程组无解.只需要对增广矩阵A实施一系列的初等行变换使若7?(A)=R(A)=n,则此方程组有唯一解，其化为行最简形，由此得

9、出方程组的解，即10得原力程组的解为兀1=C

10、X2=C2Xn~Cn