31矩阵的初等变换及其应用

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1、3.1矩阵的初等变换及其应用在科学技术与经济管理领域，线性方程组是许多问题的数学模型，因此，线性方程组的求解问题十分重要，本章将研究更-•般的线性方程组的求解问题。一、矩阵的初等变换用消元法求解简单线性方程组时，其消元步骤是对方程组施以下列变换：(i)对调某两个方程在方程组中的位置；(ii)以数乘某一方程的两端；(iii)把某一方程的两端乘以数匕后加到另一方程的两端.这些变换称为线性力程组的初等变换，由此引出矩阵的初等行变换.定义6下面三种变换称为矩阵的初等行变换：⑴对调两行(对调—两行，记作西戸勺)；(ii)以数上*°乘某一行中的所有元素(第J行乘匕，记作峙");(iii)把

2、某一行所冇元素的巴倍加到另一行对应的元素上去(第•'行的上倍加到第了行上，记作"切)把定义小的行换成列，即得矩阵的初筹列变换的定义矩阵的初等行变换打初等列变换，统称为矩阵的初等变换.如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价，记作A〜B・显然，=种初等变换都是可逆的，H其逆变换是同-类型的初等变换:变换1J的逆变换就是其林变涉歸的逆变蚌护妙(或记作毎");变换殆的逆变换为命+(或记作矩阵的等价关系满足以下三个性质:(i)自反性：A〜A;(ii)对称性：若A〜则B〜A;(iii)传递性：若心衣，BY,则利用等价关系可以将矩阵分类，我们将具冇等价关系的矩阵作为-•类•

3、显然，具冇等价关系的矩阵所对应的方程组有相同的解.通过对矩阵施行初等行变化，町以将矩阵化简，例如-2ri-2ri-20；3-2「2000匚3I卫00」厂「0丿上式中最后一个矩阵称为行阶梯形矩阵，它的特点是：可以厕出一条阶梯线，每个阶梯只有一行,阶梯线下方的元素全是零，阶梯线的竖线后而的第一个元素卄零，阶梯数为卄零行的行数.继续施行行变换，还可以化为更简单的形式:1-2-1上式rm〉0：1L3_00016、000；^0000上式中最后一-个行阶梯矩阵具冇下述特点：非零行向屋的第一个元素为1,且含这些元素的列的其他元素都为0.这个矩阵称为A的行最简形矩阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种

4、最基木的运算，它有着广泛的应用，任意一个曲。矩阵A经过初等行变换都可化为行阶梯形矩阵及行最简形矩阵二、初等方阵定义2由单位阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等方阵.三种初等变换对应着下列三种初等矩阵：（i）对调两行（或对调两列）把单位阵中第W两行对调（瞪日勺，得初等方阵101►第j行■■1丿…（ii）以数上乘某行（或某列）以数"Q乘单位阵的第I行（々）,得初等方阵sm)=ik1■■■?-（iii）以数二乘某行（列）加到另一行（列）上去以片乘三的第J行加到第了行上（吟十巧），得初等方阵1…kEg),卄■■■•■•1■■用E阶初筹方阵耳®力左乘炬阵仙1^12…a%a“•…%第1

5、行爲80，丿）4=••••••ai2…%—第j行耳2…a棚丿其结果相当丁-对矩阵A施行第一种初等行变换:把A的第了行与第丿行对调（昨宀功）；类似地可以验证：以想左乘矩阵A,其结果相当于以数｝乘A得第7詁M）;以比5©•。左乘矩阵A,其结果相当于把A的第」行乘-加到第1行上.综上所述，可得下述定理.定理1设A是一个EM矩阵，对A施行一次初等行变换，相、"I于在A的山边乘以相应的曲阶初等方阵;对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的三阶初等方阵.由此得知，对矩阵A进行-•系列的初等行变换，等于在A的左边乘以若干个初等方阵.三、利用初等行变换求逆矩阵定理2设A为可逆方阵，则

6、可通过行变换将A化为单位矩阵.证明由于任意一个矩阵A经过初等行变换都可化为行最简形矩阵，由定理1知，存在初等方阵使得其中-为三的行最简形矩阵.当A为可逆方阵时，注意到初等方阵的可逆性，得即U是可逆的,所以U是单位矩阵E,即有由定理4得蚌…钢川，蛭…召也"和马…貂4"表明：当-系列初等行变换将矩阵A化为单位阵E时,那么经过这同一系列的初等行变换就将单位阵E化为川了，即W

7、5)—-I0解因为00-I-I00000oli2.ri2r22I』43[I211100?221»10343

8、001^(所以-1I000^01000010000，所以国故A不可逆，即才1不存在.解因为A=2丿，讨

9、论A的可逆性.-Ia+2由丁•初等彳J：变换不改变矩阵的可逆性，所以时矩阵AnJ逆.四、利用初等行变换求矩阵的秩-•般当矩阵的行数与列数都较高时，按定义求矩阵的秩是很麻烦的.对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的行数.因此向然想到用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？我们给出下而的定理：定理3初等行变换不改变矩阵的秩证明由于对矩阵施行对调两行和以数乘某一行中的所有元素的变换均不改变子式是否为零，因此这两类初等行变换均不改变矩阵的秩.下面证明耙矩阵某•行所有元