8三角函数第2讲同角的基本关系和诱导公式

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1、第2讲同角三角因数的基本关糸与诱导公式[2014年高考会这样考】1.考查同角三角函数的基本关系式.2.考查诱导公式在三角函数化简求值屮的运用.【复习指导】本讲复习吋应紧扣三角函数的定义，理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式；特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解，掌握其规律.基础梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin%+cos%=l；(2)商数关系：777T=tana.COS(a2•诱导公式公式一：sin(a+2Z：7i)=sina,cos(a+2加)=cos/，其中k^Z.公式

2、二：sin(7i+(z)=—sing,cos(兀+a)=—co$_etan(兀+a)=tana.公式三：sin(~a)=—sinq，cos(~a)=co$_g・公式四：sin(7r—a)=sina,cos(兀一a)=—cos_e公式五:=cos_ajcos公式六:=cos_a,cos诱导公式可概括为力号土a的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指乡的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把a看成

3、锐角时原函数值的符号作为结果的符号.•在丞值当化負吐2…常一甩方一注有一匚■(1)弦切互化法：主要利用公式tana=赠笑化成正、余弦.COS«(2).杞枳转操法丄…利丿可(sinfttcos_®2=.l±2sin^cos<9系进彳工变形二…转化...(3)艺用:工:的变扌夹.:…1=sin20+cos20=cos20(.1+tan2.0)=tan^=:;;.双基自测1•已知sin（兀+a）=*,则cosa的值为（）・A.土*B.*C專D.土申2•点/（sin2012。，cos2012°）在直角坐标平面上位于（）.A.第一

4、象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.1.已知cosa=g,aW（0,兀），则tana的值等于（）.A#B扌C.士扌D・士弓4.cos（-乎）_1771的值是（）•A.迈B・-迈C.0D*5.已知a是第二象限角，tana=—则cosa=6.在三角形ABC中,血sin/=a/3cos?1,贝lj角A=.7.己知cosa=--,.Ktan6Z>0,^

5、方法总结"（1）化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.（2）诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了.cos（号+aJsin（_兀_a）【训练】已知角以终边上一点卩（一4,3）,则一而一厂两一的值为.cosl_2__«Jsinl~^~+6（考向二同角三角函数关系的应用【例2】＞（2011•长沙调研）已知tana=2.求:2sina—3cosa⑴4sin9coso：(2)4sin2a—3sinacos«—5cos2a.［审题视点］⑴同除cosa;（

6、2）利用l=sin2a+cos2a,把整式变为分式，再同除cos%.方法总结》（1）对于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为（sina±cosa）2=l±2sinacosa;⑵关于sina,cosa的齐次式，往往化为关于tana的式子.【训练】已知sina+3cosa亠93cos「sm广§•求six—sizcosa的值.考向三三角形中的诱导公式【例3】》在中，sin/+cos/=V^,萌cos/=—迈cos（n_B）,求厶ABC的三个内角

7、.［审题视点］要求三角形的内角，需求得某一内角的某一三角函数值，故结合条件smA+cosA=yl2知先求角A,进而求其他角.竝甦》在中常用到以下结论：sin（^+5）=sinC,cos（/+B）=—cosC,t(A,BC(A.Btan(/+B)=—tanC，sin辽十刃=cos》cosK12丿【训练3］若将例3的已知条件“sinA+cos4=迄”改为“sin（2兀一/）=一迈sin（兀一⑵”其余条件不变，求△/SC的三个内角.忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条

8、件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.，【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件【示例】》若sin0,cos3是关于兀的方程5x2—x+a=0（a是常数）的两根，&G（0,兀），求cos20的值.