第二十讲 向量组的秩

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1、第三讲向量组的秩一、向量组的秩和最大线性无关组的概念三、向量组的秩和最大线性无关组的求法第四章向量组的线性相关性二、向量组的秩和矩阵的秩的关系1定义设向量组中有一部分向量组，该部分向量组满足以下条件(1)线性无关；(2)再加入原向量组中任意其它一个向量(如果有的话)所形成的新的部分向量组都线性相关；则称向量组为向量组的一个最大线性无关组.一、秩和最大线性无关组的概念2例1求的最大线性无关组.解：是线性无关的，因其对应的方程组为且其余向量都可由这两个向量线性表出：3最大线性无关组不一定是唯一的，但最大线性无关组中所含向量个数是一定的.秩的定义：向量组的秩=

2、最大线性无关组中向量的个数.注：只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.也是最大线性无关组.所以是最大线性无关组.4等于它的行向量组的秩.定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也二、向量组的秩和矩阵的秩的关系R(a1,a2,···,am).今后向量组a1,a2,···,am的秩也记作注：5下面我们讨论如何求一个向量组的秩和最大线性无关组。求向量组的秩：作矩阵阶梯阵(行变换).阶梯阵中每行第一个非零元所对应的向量构成最大线性无关组。三、秩和最大线性无关组的求法6向量组的秩=矩阵的秩。例1.判别线性相关性，并求一个最大线性无关组和秩.解：由这些向量组成

3、一个矩阵线性相关，最大线性无关组为：秩=2.7例2.设矩阵求矩阵A的各列构成的向量组的一个最大线性无关组，并把不属于最大线性无关组的列向量用最大线性无关组线性表示出来.解：8910A的列向量组的最大线性无关组含有三个向量，由最后一个矩阵易知是一个最大线性无关组.11定义3设有两个向量组A:a1,a2,···,am及表示,则称这两个向量组等价.A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组B:b1,b2,···,bs,若向量组B中的每个向量都能由最后，介绍向量组等价的概念.注：向量组A和它自已的最大无关组A0等价.向量组

4、与其最大线性无关组等价.这是最大线性无关组的一个本质性质.12小结：1、向量组的秩和最大线性无关组的概念；2、向量组的秩和最大线性无关组的求法.13