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《向量组的秩-例题选讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、单个向量组成的向量组:(1)若=0,则线性相关;(2)若0,则线性无关.两个向量组成的向量组,:(1)若对应分量成比例,则线性相关;(2)若对应分量不成比例,则线性无关.复习线性相关性的判定理论1设有n维向量组成的向量组:1,2,…,m(1)包含0向量线性相关.(2)包含成比例的向量线性相关.(3)线性相关存在一个向量可由其余的向量线性表示.(4)线性无关任何向量都不能由其余的向量线性表示.(m2)增加(减少)个数不改变相(无)关性.(5)(6)增加(减少)维数不改变无(相)关性.2
2、(7)向量组1,2,…,m线性相关性x11+x22+…+xmm=0有非零解齐次线性方程组AX=0有非零解其中A=(12…m),X=(x1,x2,…,xm)T(8)设有n个n维向量1,2,…,n:1,2,…,n线性相关
3、12…n
4、=0;1,2,…,n线性无关
5、12…n
6、0.(9)Rn中n+1个向量一定线性相关.(10)矩阵判别法.34.3向量组的秩极大线性无关组与秩;2.向量组的等价;3.向量组的秩与矩阵的秩的关系.本节主要内容44.3.1向量组的极大无
7、关组与秩定义1设S是n维向量构成的向量组,在S中选取r个向量,如果满足(1)线性无关(2)任取S,总有线性相关.则称向量组为向量组S的一个极大线性无关组(简称极大无关组).数r称为该向量组的秩,记为r(1,2,…,s)=r或秩(1,2,…,s)=r5设有向量组1=(1,1,1)T,2=(2,1,0)T,3=(3,2,1)T,求向量组的秩和极大无关组.因1,2线性无关,且例1所以1,2为极大无关组,可知1,3和2,3也都是极大无关组.故秩(1,2,3)=2.3=1+2
8、解6定理4.2设n维向量1,2,…,m线性无关,而1,2,…,m,线性相关,则可由1,2,…,m线性表示,且表法唯一.证由1,2,…,m,线性相关存在不全为零的数k1,k2,…,km,l使得下面证明只有l0,反证法.线性表示唯一性定理7如果l=0,则有k1,k2,…,km不全为零,使于是1,2,…,m线性相关,与已知矛盾.从而l0.故有即可由1,2,…,m线性表示.下面来证明表示的唯一性.8假若有两种表示法,设两式相减,得由1,2,…,m线性无关,得可
9、由1,2,…,m唯一线性表示.故9设有两个n维向量组若(I)中每个向量都可由(II)线性表示,则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示.若向量组(I)和(II)可以互相线性表示,则称向量组(I)与(II)等价.定义24.3.2向量组的等价等价的性质自反性、对称性、传递性10n维向量组存在数,使得即定义存在r×s矩阵K,使得Bn×s=An×r向量组(II)可由向量组(I)线性表示11极大无关组与原向量组的关系?极大无关组之间的关系?这都要用到两个向量组之间的关系.向量组极大无关组的几个问题:向量组与它的极
10、大无关组等价.证设(I)极大无关组.不妨设(II)性质1的秩为r,是(I)的一个12即(II)可由(I)线性表示.i(i=1,2,…,r)(II),由(1)由定义1知,1,2,,m中任意r+1个(2)故(I)与(II)等价.j(I)向量都线性相关.如果j=1,…,r,j显然可由1,2,,r线性表示;如果j=r+1,…,m,向量组1,2,,r,j一定线性相关,所以j(j=r+1,…,m)可以由1,2,,r线性表示(I)可由(II)线性表示.13证设(I),(II)
11、是向量组S的两个极大无关组,由性质1知,(I)与S等价,(II)与S等价,由传递性(I)与(II)等价.向量组的任意两个极大无关组等价.性质2设有n维向量组:若(I)线性无关,且(I)可由(II)线性表示,则r≤s.定理4.314证因为向量组(I)可由(II)线性表示,故有线性无关,由矩阵判别法知故rs.(I)(II)15推论2若(I)、(II)都线性无关,且(I)与(II)等价,则r=s.向量组的两个极大无关组所含向量个数相等推论3若(I)可由(II)线性表示,则秩(I)≤秩(II).如果向量组(I)可由
12、(II)线性表示,且r>s,则(I)线性相关.等价的无关向量组必然等秩推论116证设r(I)=r,r(II)=s,(I´),(II´)分别是(I),(II)的极大无关组,显然(I´),(II´)含向量的个数分别是r与s.因为(I´)可由(I)线性表示,(I)可由(II)线性表示,而(II)可由(II´)线性表示,所以(I´)可由(II´)线性表示.由定理4.3有rs.等价的向量组等秩
