第二十三讲 方阵的特征值与特征向量

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1、第一讲方阵的特征值与特征向量一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的求法第五章相似矩阵与二次型1一、特征值与特征向量的概念,则称成立向量x使关系式lxAx=1.定义和n维非零列设A是n阶矩阵，如果数l数为方阵A的非零向量x为A的对应于特征值的l特征值特征向量2例1.设判别下列向量是否为A的特征向量：解：所以是A的特征向量，对应的特征值为3.又所以不是A的特征向量.3例2.已知矩阵A可逆，为矩阵A的特征值，求矩阵一个特征值.解：由于为矩阵A的特征值，即有非零的向量x使得即所以，为矩阵A-1的特征值，相

2、应的特征向量x未变.4即n阶方阵A的特征值就是使齐次线性方程组(1)由推得特征值.的都是矩阵A的也即满足方程值.有非零解的二、特征值与特征向量的求法对特征值与特征向量的定义进一步分析:5也即若A特征值为，则6(3)对方阵A的特征值，方程组特征向量的非零解就是A对应于特征值的由此得出求矩阵A的特征值及其相应的特征向量的方法：7求矩阵特征值与特征向量的步骤：特征值与特征向量的求法的基础解系，即是A的属于的线性无关的特征向量,基础解系的线性组合(零向量除外)就是A的属于的全部特征向量.(),det.102ll的全

3、部根求特征方程=-EA();det.1EAAl-的特征多项式计算;,,,的全部特征值就是AnllL2求出齐次方程组对于每个特征值,.il38???有无穷多个.答:有多少个特征向量？矩阵A，对应于一个特征值l这是因为，特征向量是相应齐次线性方程组的非零解)(0=-xEAl我们关心的是，线性无关的特征向量，也即相应方程组的基础解系.9例3.求矩阵的特征值和特征向量.解:这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤.A的特征多项式所以A的特征值为10对应的特征向量应满足时当,1

4、2=l解得所以对应的特征向量可取为由当时,11所以对应的特征向量可取为解得,21xx-=由上例知道,矩阵A的特征值之和而矩阵的主对角线上元素之和也为6,即A的特征值之积,而矩阵A的行列式等于A的特征值之积.属于A的不同特征值的特征向量是线性无关的.当然这一结论并不是偶然的,它在一般情况下也是成立的.12(2)12…n=A.结论1：设1,2,…,n是n阶矩阵A=(aij)的n个特征值(k重特征值算作k个特征值),则(1)1+2+…+n=a11+a22+…+ann;推论方阵可逆当且仅当它的特征

5、值全不为0．其中是A的主对角元之和，称为方阵A的迹，记作tr(A).结论2：属于A的不同特征值的特征向量是线性无关的.13二.求矩阵特征值与特征向量的步骤：小结:一.矩阵特征值与特征向量的概念；14