第8章 位移法

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1、土木与水利工程学院道路与桥梁工程系结构力学STRUCTURALMECHANICS§8—1概述§8—2等截面直杆转角位移方程§8—3位移法基本未知量和基本结构§8—4位移法的典型方程及计算步骤§8—5直接由平衡条件建立位移法基本方程§8—6对称性的利用第八章位移法(DisplacementMethod)已有的知识：（2）静定结构的内力分析和位移计算；（1）结构组成分析；（3）超静定结构的内力分析和位移计算力法；§8－1概述回顾力法的基本思路：（1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本结构（静定结构）、基本体系；（2）分析基本结构在未知

2、力和“荷载、温改和支座移动等”共同作用下的变形，利用变形协调，建立力法典型方程；（3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。核心是化未知为已知一般情况下结构上一个自由刚结点在平面上有三个位移分量（互相垂直的两个线位移和一个转角位移）。若忽略受弯直杆轴向变形只有一个转角位移Z。分析图8－1所示的刚架的位移(b)(a)图8-1(b)图8-1图8-1(b)所示刚架，有一个结点转角位移未知量Z1。由结点C与它所连各杆的C端的位移应一致的条件，知两杆在C端的杆端位移均为Z1。将两杆都在C端截断后取出，在截断处代以固定支座并使其发生位移Z1,由

3、于离散后各单杆与原结构变形、位移和受力是一致的。如果各杆的杆端位移Z1已知，它们的内力就是原结构的内力。离散后的各单跨超静定杆件与原结构的受力和变形一致。(e)(d)(c)(b)图8-1因此，在位移法中需要解决以下各问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力；（2）确定以结构上的那些位移作为基本未知量；（3）如何求出这些位移？！§8-2等截面直杆的转角位移方程如上所述，用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均可看作是单跨超静定梁。在计算过程中，要用到这种梁在杆端发生转动或移动时，以及荷载等外因作用下

4、的杆端弯矩和剪力。为了以后应用方便，本节先导出其杆端弯矩的计算公式。在线性小变形条件下，由叠加原理可得。单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下RPxy在位移法中，为计算方便，杆端弯矩是以对杆端顺时针方向为正（对结点、支座以反时针方向为正）；角位移以顺时针方向为正。ΔAB一、用力法求解单跨超静定梁在支座移动作用下X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11令其中：称杆件的线刚度。为由荷载和温度变化等外因引起的杆端弯矩，称为固端弯矩。转角位移方程(刚度方程)Slope-DeRlection(StiRRness)Equat

5、ion同理，另两类杆的转角位移方程为A端固定B端铰支A端固定B端定向ZAMAB几种不同远端支座的刚度方程（1）远端为固定支座ZAMABMBA因B=0，代入(1)式可得（2）远端为铰支座因MBA=0，代入(1)式可得AMABMBA（3）远端为定向支座（一端滑动）代入（2）式可得因lEIlEIlEI因由(1)式可知由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图MABMBAFAB=FSBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i-i0AB一端固定、一端铰支AB一端固定、一端滑动二、由荷载求固端反力MFA

6、BEIqlEIqlMFBA由荷载引起的杆端力称为载常数。§8-3位移法的基本未知量和基本体系超静定结构计算的总原则:欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）位移法的特点：基本未知量——基本体系——基本方程——独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。(1)独立角位移数目的确定由于在同一结点处，各杆端的转角都是

7、相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。1.位移法的基本未知量这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。例如图示刚架123456独立的结点角位移数目为2。(2)独立线位移数目的确定在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一个

8、独立线位移(侧移)。例如(见图a）1234564、5、6三个固定端都是不动的点，结点1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移△。P△△△(a)Z1Z2线位移数也可以用几何方法确定。140将结构中所有