第1.3节 等可能概型

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1、§1.3等可能概型23479108615例如,一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀,蒙上眼睛,从中任取一球.一、引例因为抽取时这些球是完全平等的,我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说,10个球中的任一个被取出的机会是相等的,均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/10概率论所讨论的问题中,有一类问题最简单直观,这类问题所涉及到的试验具有下面两个特征：1)(有限性)试验的样本空间的元素只有有限个;2)(等可能性)试验中每个基本事件发生的可能

2、性相同.把具有上述两个特征的试验称为等可能概型或古典概型.例如,抛一枚质地均匀的硬币,或者出现正面或者出现反面,只有两种结果,且每种结果出现的可能性相同.又如抛一颗骰子,观察出现的点数,则共有6种结果,且每一种结果出现的可能性相同.定义:设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn，而且这些事件的发生具有相同的可能性.古典概型的概率计算确定试验的基本事件总数事件Ａ由其中的m个基本事件组成确定事件A包含的基本事件数例一个家庭中,若有两个孩子,问恰都是男孩的概率多大?假定男女出生率相同.解以下解法是错误的:样本空间取为{两男,两女,

3、一男一女},所以p=1/3.注意:在古典概型中,样本空间中的基本事件必须是等可能的.错误在于样本点不是等可能的.正确的解法是:样本空间取为{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.所以p=1/4.解解(Ⅰ)有放回抽样.(1)所求的概率为解(Ⅰ)有放回抽样.(2)故由加法原理,所求的概率为解(Ⅰ)有放回抽样.(3)所求的概率为解(Ⅱ)无放回抽样.(1)所求的概率为解(2)故由加法原理,所求的概率为(Ⅱ)无放回抽样.解(3)所求的概率为(Ⅱ)无放回抽样.例3设在100件产品中,有4件次品,其余均为正品.求:这批产品的次品率任取3

4、件,全是正品的概率任取3件,刚好两件正品的概率解所求的概率为生日问题:某班有n个学生,求他们的生日各不相同的概率(设一年365天).n个学生365天n个小球365个盒子其概率为至少有两人生日相同的概率为n102023304050630.1170.4110.5070.7060.8910.9700.997可能吗？没问题！生日问题模型:某班有n个学生,求他们的生日各不相同的概率(设一年365天).其概率为例5设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.这是一种无放回抽样,称超几何分布.次品正品M件次品N-M

5、件正品解思考:若是有放回抽样呢?例6(抽签问题)10个学生,以抽签的方式分配3张音乐会入场券,抽取10张外观相同的纸签,其中3张代表入场券.求A={第五个抽签的学生抽到入场券}的概率.基本事件总数A中的基本事件数第五个学生抽到入场券另外9个学生抽取剩下9张抽签的公平性!几何概型GeometricProbability将古典概型中的有限性推广到无限性,而保留等可能性,就得到几何概型.事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中几何度量----指长度、面积或体积特点有一个可度量的几何图形S试验E看成在S中随机地投掷一点例7(会面问题)甲乙

6、二人相约定6:00-6:30在预定地点会面,先到的人要等候另一人10分钟后,方可离开.求甲乙二人能会面的概率,假定他们在6:00-6:30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的.解设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为x及y(分钟),则二人会面30301010yx布丰投针问题设平面上画着一些有相等距离2a（a>0）的平行线,向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（l

7、nθdaθπ袋中有20个球，其中15个白球，5个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率．设Ａ表示至少取到一个白球，Ａi表示刚好取到i个白球，i＝0，1，2，3，则方法１（用互不相容事件和的概率等于概率之和）Ｐ(A)＝Ｐ(A1∪Ａ2∪Ａ3)＝Ｐ(Ａ1)＋Ｐ(Ａ2)＋Ｐ(Ａ3)解方法２（利用对立事件的概率关系）甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为0.85，乙击中的概率为0.8．两人都击中的概率为0.68．求目标被击中的概率．解设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，则所求概率为＝0.85＋0.8－0.68＝0.97排列组合是

8、计算古典概率的重要工具.基本计数原理1.加法原理设完成一件事有m类方式，第一类方式有n1种方法，第二类方式有n2种方法,…；第m类方式有nm种方法,则完成这件事总共有n1+n2+…+nm种方法.一步完成例如，某人要从甲地