资源描述：
《大学文科数学第二章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章微积分的直接基础——极限主讲人:姜革命§1从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列极限割圆术我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。一、数列概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”播放——(魏晋)刘徽割圆术正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3.1416数列的定义例如称为无穷数列,简称数列.说明：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依
2、次取2.数列是整标函数公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家芝诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.芝诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显
3、然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？芝诺悖论—阿基里斯与乌龟如果我们从级数的角度来分析这个问题,芝诺的这个悖论就会不攻自破.中国古代哲学家称悖论“饰人之心，易人之意，能胜人之口，不能服人之心”.科学家们通过悖论来提出问题.悖论是科学中基础理论缺陷的产物，是对科学理论体系的挑战，是对人类智力的挑战.研究悖论能使我们了解学科基础理论的缺陷，而解决悖论的最大意义是能帮我们解决学科基础理论的缺陷——修改或重建某些基础理论，从而使科学研究朝着健康的方向发展.这是一种客观的需要.Examp
4、leKoch雪花做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．123456第一次分叉：周长为面积为第次分叉：于是有雪花的面积存在极限（收敛）．结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．做一个雪花蛋糕会比较有趣，这样就可以宣称“我吃掉了一条无限长的曲线”了.这种奇怪的几何怪物的发现,向十九世纪的数学家提出了挑战，因为这种曲线打破了人们的直觉观念:连续曲线总能借助于铅笔的不间断移动画出来，局部曲线总是
5、“光滑”的.但是Koch曲线提醒人们，在研究无穷过程时，直觉是一个很不可靠的向导，这种挑战迫使数学家们为其职业制定更高更严的标准，曲线的定义也需要加以修改，以适应类似这种“病态”的雪花怪物.Koch曲线是一条浪漫的分形曲线，它的周长为无限大，曲线上任两点之间的距离也是无限大，却包围着有限的面积.曲线在任何一点处都连续，但却处处“不可导”（每一点都是“尖点”）.还好我的浪漫没这么抽象截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”数列极限的定性描述Definition如果n无限增大时，数列{an}的通项an无限接近于常数a，则称该
6、数列以a为极限，记做或如果数列没有极限,就说数列是发散的.上例中，以0为极限的变量称为无穷小量.如每一项均为常数的数列称为常数列.常数列的极限仍是该常数.如数列{1,1,1,…}为常数列，且绝对值无限变大的变量称为无穷大量，或称其收敛于∞，或－∞.如2n,-2n均为无穷大量，且为n→∞时的无穷小量播放数列极限的定量描述问题:当n无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?通过上面演示实验的观察:如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义总存在正数N,不
7、等式记为或几何解释:其中例6证例7证§2函数极限1、自变量在有限点处的极限3.几何解释:说明：例1证例2证证得证。例3单侧极限：左极限：右极限：解左右极限存在且相等,例4左右极限存在但不相等,例12证播放2、自变量趋于无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”？例5证几何解释:例7解例6解xy三、有极限的函数的基本性质性质1函数极限的唯一性性质2有极限函数的局部有界性推论1性质3有极限函数的局部保号性注意推论2定理一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自
8、变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三
