大学文科数学第二章

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1、第二章函数、极限、求和2.1函数2.2逼近、极限与连续2.3级数求和(不讲)2.4应用集合1.区间称为闭区间.称为开区间.2.1.1函数的概念简称为点a的邻域.设有实数a和则称开区间2.邻域为以a为中心,以为半径的邻域.变量和常量保持不变的量有变化的量如:一分钟内人的体重如:一年之内人的体重3.常量和变量4.函数的概念定义：设x和y是两个变量，当x在实数R的一个子集A中取定一个数值时，变量y按照某种法则f，总有R中的唯一的一个数值与之对应，则称y是x的函数，记为y=f(x).集合A称为函数f(x)的定义域，通

2、常记为称为函数f(x)的值域。x为自变量，y为因变量.注意：(1)函数的三要素:定义域,值域和对应法则(2)函数是有方向的:到的函数和到的函数是不同的(3)映射的实质:中任何一个元素在中都有唯一的元素和它对应（任一对唯一）函数只能是一对一或多对一的对应,不能是一对多的对应例1：下列各图表示的对应是不是集合A到B的函数？为什么？12123451234524512AAAABBBB(1)(2)(3)(4)×××ffff方法提炼：看AB是否满足任一对唯一123例2：求下列函数的定义域:2.1.2函数的表示1.列表法：

3、将自变量x和因变量y的对应关系列成表格。2.图像法：在直角坐标系中将图像描述出来。3.公式法：用解析式表示自变量和因变量之间的对应关系。这是最常用的表示法。1.有界性若则称f(x)是有界的,否则称f(x)是无界的.对于2.1.3函数的特性2.单调性对任意的若有则称f(x)是单调递增的,简称增函数;若有则称f(x)是单调递减的,简称减函数.3.奇偶性若有则称f(x)是偶函数;偶函数的图像关于y轴对称;奇函数图像关于原点对称.若有则称f(x)是奇函数;4.周期性若存在使则称f(x)为周期函数.我们通常用x表示自变

4、量，用y表示因变量，所以的反函数也写成设函数，其定义域为,值域为如果对于任意的，按总有唯一的与之对应，则由确定了一个的反函数，记为2.1.4初等函数1.反函数（不作要求）一个函数与其反函数的图形关于直线y=x对称.的值域则由函数以及设函数函数如果2.复合函数可以构成一个复合函数3.基本初等函数以上六类函数称为基本初等函数.所谓初等函数，是指由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得的函数。A.常函数yOxB.幂函数yOx121yOxB.幂函数yxOoxC.指数函数D.对数函数xay=xOE.三角

5、函数y1o-1y1o-1E.三角函数E.三角函数F.反三角函数F.反三角函数复合函数的求解：(1)符号函数两个特殊的函数1-1xyo12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线[x]表示不超过x的最大整数（2）取整函数y=[x]如[-3.4]=-4,[－1]=－1,定义域D=(－∞,+∞),值域=Z.2.2逼近、极限与连续2.2.1极限的定义与性质实际背景：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”按照一定顺序排列的一列数1.数列极限称为数列.记为,其中称为数列的第n项,n称为数列的下标变量.称为通

6、项。例如定义若数列的一般项当n越来越大时,能逐渐无限地逼近某个常数a,则称a是数列当n趋于无穷大时的极限,记为或注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数由极限的定义，容易得到下面数列的极限例4写出如下数列的极限练习:数列极限的运算与性质例5：求下列极限总结：方法：分子，分母同除以n的最高次幂其中f(n)，g(n)都是关于n的多项式例6:求下列数列的极限方法：四则运算法则只对任意有限个数列可进行四则运算，数列个数是无限的，不适用于四则运算法则，因此应先求和后求极限.课堂练

7、习：求极限：10不存在02.函数极限定义1:设函数y=f(x)在的一个去心邻域内有定义.如果当x逼近时,函数y=f(x)能无限地逼近某个常数A,则称A是函数f(x)当x趋于时的极限,记为或yxOx→∞时函数的极限定义2:设函数y=f(x)在(-∞,b)及(a,+∞)中有定义.如果当x趋于无穷大时,函数y=f(x)能无限地逼近某个常数A,则称A是函数f(x)当x趋于无穷大时的极限,记为或当x从右面逼近时,函数y=f(x)能无限地逼近某个常数A,则称A是函数f(x)当x趋于时的右极限,记为或单侧极限:类似地,可定

8、义比如：对于符号函数，对于函数，要求时的极限，需分别讨论和的情况.ox从而若则设极限的性质性质1.性质2.性质3.例8求解：例9求解：当时，、的极限都不存在，所以不能直接用公式来求解.将被求极限的函数作恒等变形：练习求极限设则存在使得极限的性质性质5.性质6.设在内有且和均存在,则性质4.设且极限的性质性质7.(夹逼定理)性质8.则有有界单调数列必收敛.对于数列也有类似的夹逼定理成立解：分段函数分段