大学文科数学第二章教案(极限)

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1、早"P第二章微积分的基础——极限课时^4学时教1.理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左心极限之间的关系；学2.熟练掌握函数极限存在的充要条件；3.理解无穷大、无穷小的概念；g4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限；的5.会用重要极限求极限.教学重点1.重点掌握函数极限与数列极限的概念；无穷人量与无穷小量的及概念及性质.2.会用重要极限求极限突出3.突出方法是采取讲练结合.方法教学难点1.函数极限的定义；2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用及3.会用重要

2、极限求极限4.突破方法是让学生首理解什么是极限，然后会求函数的极限.突破方法相关内容素材第一节:列的极限1.1数列的概念1.数列定义定义1当函数/（X）的定义域为全体自然数吋，称此函数为数列，记作f（n），^=1，2,3,…，/（W又可以记作％,则数列也可以按照数列屮的数排序为：％，6/2，屮或简记为｛&,｝，其中第项d；称为该数列的通项.2.数列的有界性设数列｛&｝，若存在常数M，使得对一切CJ然数n，都宥则称数列｛久｝上（下）有界，并称数列｛6/,,｝为上（下）有界数列,M称为数列的一个上（下）界.若这样的

3、M不存在，则称数列｛〃,,｝无上（下）界，并称｛人｝为无上（下）界数列.若存在正常数M,使得对一切自然数H，都有IaSM，贝U称数列｛%｝宥界，并称数列｛&｝为宥界数列，M称为数列的一个界.若这样的M不存在,则称数列无界，并称为无界数列.3.数列的单调性单调增加（上升）数列：％a2>a3>-->an2人+12…平调增加数列和平调减少数列统称为平调数列。例1判断数列的申调性（1）（2）解：（1）单调递减数列；（2）单调递增数列；（3）不是单调数列第一节:列

4、的极限1.2数列的极限定义2对于数列沁,J,如果当〃无限增大时，通项6/,,无限接近于某个确定的常数A，则称A为数列&的极限，或称数列收敛于A,记为lim&=A或6Z"-^A(Z2oo)定义3对于数列{&},如果对任意正数£,总存在相应的正整数7V,当时，总W

5、a-A

6、<£成立，则称A为数列久的极限，或称数列RzJ收敛于A，记为limczn=A或人4A(zi4oo)x—>oo注：1)当/Z400吋，&不以任何常数为极限，则称数列发散.2)数列收敛或发散的性质统称为数列的敛散性.3)常数列的极限仍为该常数.定理1

7、(单调有界原理)：单调有界数列必有极限。例2证明：lim4=0第二节函数极限1X4X。时的极限定义1如果当•¥->X。吋，函数/(X)无限趋近于一个确定的常数A,则称A为函数/Cr)当义^人吋的极限，记作lim/(x)=A或/(x)^A(当X4时).此时也称lim/(x)存在。如果当X4X。时，函数/U)不起近于任何一个确定的常数，则称lim/(%)不存在.夂一>々)定义2设函数y=/(x)在点xQ的去心领域内有定义，若果对任意的正数e,总存在相应的正数<5,^0<

8、%-%0

9、

10、/(x)-A

11、

12、成立，则称函数/(X)当以4为极限，或称函数/(X)在点有极限，记为lim/(%)=A或/(X)—>A(x4x0).•卜注：1)£•具有二重性，固定性和任意性；2)<5依赖于£，由6•确定；3)&育无定义，均可求极限；4)若这样的A找不到，则称函数y二/U)在&点无极限.r2_1如：lim(x+1)=2,乂如lim=2.卜>1.卜>1X—12.2x400吋的极限定义3设函数>，=/(%)在(A+oo)内有定义，A是一个确定的数，若果对任意给定的正数£，总存在某个正数M&g),使得当吋，总有

13、/0)-4

14、<£成立

15、，则称函数/⑺当a:4OO以a为极限，记为lim/(x)=焱或/(x)A(%—>oo).总结：1、理解数列和函数极限的实质2、会求数列和函数的极限作业：PS11.(1)(3)(4)2.3函数极限的性质1.唯一性若lim/(%)=A,lim/(x)=B，贝ij?!=fi2.有界性若lim/(x)二则存在xQ的某一去心邻域N(么，<5),在N(x0,J)内函数/(%)有界.3.保号性若lim/(x)=A且A〉0(或A<0)，则存在某个去心邻域N(x0,^),在N(毛，5)内/(x)〉0(或(/(x)<0).4.夹逝

16、准则设在xQ的某邻域内(可不包括点xn)有g(x)AoX-^X()A•―>XoX—>X()这个定理称为夹逼定理，它同样适用于的情况2.4无穷小量与无穷大量1、无穷小量概念定义4极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；注：1)无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。2)数零是唯一可