大学文科数学-张国楚-集合、实数、极限.ppt

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1、第一章微积分的基础问题——集合、实数、极限教学目标：本章的目标是介绍集合、实数和极限。要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。教学重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻域的概念。教学难点：极限概念及其在微积分中的作用、邻域的概念。教学时数：6学时。教学内容：§1极限、实数与集合在微积分中的作用§2实数系的建立及邻域的概念§3变量无限变化的数学模型——极限数学家启示录（一）数学之神——阿基米德（二）我国古代伟大数学家——祖冲之§1极限、实数与集合在微积分中的作用微积分极限理论实数理论自然

2、数集合论从左到右，左边的理论为右边理论的基础。布置作业必作题：无选作题：无思考题：推动微积分不断向前发展的因素有哪些？哪些数学家对微积分的完善与发展做出了重大贡献，各自的成就有哪些？§2实数系的建立及邻域的概念§2.1实数系的演变及性质自然数集实数集有理数集整数集（1）（2）（3）（1）是为了使在自然数范围内减法运算也封闭。（2）是为了使在整数范围内除法运算也封闭。（3）数轴上除了有理点之外的成为无理数，合称为实数。有理数集稠密，但不连续；实数集则连续。§2.2刻画极限的邻域概念与点的距离小于的全体实数的集合称为点的邻域。记作：，称为邻域的中心

3、，称为邻域的半径。这一邻域可用集合符号表示为。如果点的邻域不包括点，则称为点的去心邻域。例题：用邻域符号和区间符号分别表示不等式所确定的的范围。解：布置作业必作题：无选作题：无思考题：实数系的演变过程是怎样的？§3变量无限变化的数学模型——极限3.1数列极限（概念）以正整数为自变量的函数，当n依次取，称为无穷数列，简称数列。数列中的各个数称为数列的项，称为数列的通项。数列常简记为。1.数列极限的定性描述定义1：如果n无限增大时，数列的同项无限趋近于常数a，则称该数列以a为极限，记作其中表示n无限增大，此时也称为该数列收敛；如果时，不以任何常数为

4、极限，则称数列发散。无穷小量：以零为极限的变量称为无穷小量。绝对值无限变大的变量称为无穷大量。常数列的极限仍是该常数。2.数列极限的定量描述定义2：如果对于任意正数（无论它有多小），总存在相应的正整数N，使得满足n>N的一切n，能使不等式恒成立，则称数列以a为极限，记作：例证明：证明：设为任意小的正数，由（不妨设）求N：取由前面的推导过程可知，则当n>N时，就有3.数列极限中蕴含的辨证思想极限的取得是变化过程与变化结果的对立统一。极限是有限与无限的对立统一。极限的取得体现了近似与精确的对立统一。3.2函数极限1.自变量无限趋进于有限数的情形定义

5、1：设函数在点的近旁有定义（在点处可以无定义）。如果对于任意正数（不管它有多小），总存在相应的正数，使得满足的一切能使恒成立，则称函数当时以A极限，记作：，该定义又称为“”定义。例：证明：。证明：对任意给定的，要使成立，只需取，显然当时，恒成立，所以原式成立。2.左极限和右极限（不作为讲解内容）3.自变量的绝对值无限增大时的情形4.函数极限的性质3.3无穷小量1.无穷小量的概念（前面已介绍过）定理：函数f（x）在某个极限过程中以常数A为极限的充分必要条件是，函数f（x）能表示为常量A与无穷小量之和的形式，f（x）=A+。2.无穷小量的性质有限个

6、无穷小量的代数和仍是无穷小量。有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量。无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量。常量与无穷小量的乘积是无穷小量。无穷小量（0除外）的倒数是无穷大量。无穷大量的倒数是无穷小量。3.无穷小量阶的比较如果在某个极限过程中两个无穷小量α与β之比的极限是非零常数，表明这两个无穷小量趋近于0的速度处于同一个级别，则称α与β是同阶无穷小；特别地，当这个常数等于1时，则称α与β是等价无穷小；如果这个常数是0，则α是较β高阶的无穷小；如果比值趋于无穷，则α是较β低阶的无穷小。3.4极限的四则运算定理：有限个变量代数和的极限等于极限的代数和

7、；定理：有限个变量之积的极限等于极限之积。推论：常数可以提到极限符号外。推论：正整指数幂的极限等于极限的幂。定理：当分母的极限不等于0时，两个变量之商的极限定语极限之商。例1求解注：设则有完例2求解注：设且则有当时，则商的法则不能应用.完例3求解时,分子和分母的极限都是零.此时应先约去不为零的无穷小因子后再求极限.消去零因子法完例4计算解当时,不能直接使用商的极限运算法则.但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.完定理2(复合函数的极限运算法则)设函数是由函数与函数复合而成,若则且在的某去心邻域内有注:若函数和满足该定理的条件,则作代换可把

8、求化为求其中定理2表明:完例7计算解令则函数构成的复合函数.因为且时所以完可视为由例8计算解令则且所以完例9解求完例10求解完例11解求原式完例12求