§1.1 微积分的基础-集合、实数和极限.ppt

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1、高等数学课程简介一、什么是高等数学?数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的一门科学.大致说来分为初等数学和高等数学两部分.初等数学:研究对象为常量,以静止观点研究问题.主要包括代数学和几何学.(常量数学、有限数学)高等数学:研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.内容比较丰富，其中重要的一个分支为微积分学.(变量数学、无限数学)初等数学到高等数学的标志十七世纪初(1637年),法国数学家笛卡尔(Descartes)把变量引入了数学,创立了坐标的概念,并创建了解析几何学.笛卡尔关于解析几何学的基本思想:(1)点数(2)曲线方程数学中的转折点—笛卡尔的变数有了变数,

2、运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了而它们也就立刻产生.(恩格斯)二、数学史简介从纵向划分，数学分为:1.初等数学阶段十七世纪以前的数学称为初等数学阶段.特点：数是常数，形是孤立的、规则的几何形体，而且数和形往往是相互独立的.分为初等代数和初等几何.统称为初等数学.2.近代数学阶段1637年至19世纪末的数学,称为高等数学阶段或初等(古典)微积分阶段.其核心内容为微积分.(1)解析几何学建立1637年,法国数学家笛卡尔建立解析几何学；研究的数是变数,形是不规则的几何形体,而且数和形紧密联系了.(2)微积分的创立由于17世纪工

3、业革命的直接推动,英国科学家牛顿(Newton)和德国科学家莱布尼兹(Leibniz)各自独立地创立了微积分.此后,形成了内容丰富的高等代数、高等几何与数学分析三大分支,它们统称为高等数学,也称为初等微积分.研究对象是函数,主要的工具是极限.虽然微积分是由牛顿和莱布尼兹创立,并成功地将它应用于天文、力学与物理、几何中,但他们并没有建立函数极限的严格定义,从而给人一种高深莫测，把握不定的感觉.有时也不能自圆其说.经过许多数学家近两个世纪的努力,19世纪末、20世纪初康托尔(Cantor)的集合论的建立,才有了函数的集合论定义,在实数理论的基础上才建立了严格的极限理论.3.现

4、代数学阶段1874年以后的数学,称为现代数学阶段.(1)集合论的创立1874年，德国数学家Cantor创立集合论,为微积分奠定了坚实的基础.(2)形成了内容丰富的以抽象代数、拓扑学、泛函分析为三大基础的现代数学阶段.三、本课程的基本思想方法1.基本方法微小局部“以匀代非匀”,将问题转化为常量,求得近似值,以极限为工具得精确值.2.基本问题(1)变化率-------微分学;(2)变化率的逆问题，如面积-----积分学.微积分就是先用极限理论建立函数的导数和积分概念,进而研究导数和积分的求法、性质和应用的数学学科.简单的说,微积分就是用极限理论研究变量的数学.四、微积分研究的

5、对象和工具1.研究对象：函数(初等函数、连续函数)2.研究工具：极限3.主要内容:导数和积分的求法、性质和应用五、本课程的特点1.概念抽象、复杂；2.逻辑推理严谨;3.表达形式抽象、复杂；4.理论体系强.六、学习本课程的应注意的几点1.领会数学思想方法透过抽象的表达形式,深刻理解基本概念和理论的内涵与本质以及它们之间的联系,正确领会一些重要数学思想方法.2.培养数学能力注重抽象思维和逻辑推理能力的培养,明确做习题的目的,不能仅满足做习题.逐步培养综合应用数学知识解决实际问题的能力.3.几点要求(1)课前预习,分析重点难点；认真听课,按时完成作业;做好笔记,及时复习;培育素

6、质与能力.(2)平时成绩占20%~40%,每周二上课之前交作业.(3)多看参考书.第一章微积分学的基础和研究对象1微积分的基础—集合、实数和极限2微积分的研究对象—函数§1.1微积分的基础——集合、实数和极限1.1　从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起1.2　极限、实数、集合在微积分中的作用1.3实数系的建立及邻域概念1.1从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起牛顿称变量为“流量”,流量的微小量改变为“瞬”,即无穷小量,流量的变化率为“流数”.举例说明牛顿的流数法.例.求的导数将的该变量记为“”,则的改变量为求比值有舍弃含因数的项,得到流数.从上面的求导过程可以看出牛顿流数法

7、充满着逻辑混乱.所谓的无穷小量概念不清楚,它既是个非零增量，但被它乘的那些项又被看做没有,这与逻辑学相违背.正为此,不少学者对微积分的可靠想产生了怀疑.数学界、哲学界、宗教界的许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论,被数学史学界称为是第二次数学危机.(所谓数学危机,是指在一定的数学理论系统内无法解决的重大数学矛盾.)这就迫使数学家不得不探寻微积分的理论基础.1.2　极限、实数、集合在微积分中的作用极限是微积分的基础.(1)法国数学家柯西建立了极限理论,明确定义以零为极限的变量为无穷小量.(2)德国数学家魏尔斯特拉斯给出