概率论第二章辅导

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1、第二章随机变量及其分布1第二章随机变量及其分布一主要内容1.随机变量的分布函数2.分布函数的性质3.离散型随机变量及其分布函数4.常见离散型随机变量及其分布律(1).两点分布,(2)二项分布(3)泊松分布5.连续型随机变量及其分布函数26常见连续型随机变量及其分布密度(1)均匀分布(2)正态分布(3)指数分布7.随机变量简单函数的分布3二.应记忆的公式(1)(2)计算公式:离散型连续型(3)若X~N,则Y=~N(0,1)(4)常见6种随机变量的分布律或分布密度4(5)正态分布概率的计算公式若X~N,则1)2)3)4)5三例题分析例1从一批产品包括10件正品,3件次品中重复抽取,每次取1件直到取

2、得正品为止，若每件产品被抽到的机会相同,求抽取次数X的分布律解P(X=1)=10/13,P(X=2)=(3/13)*(10/12)=5/26P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143P(X=4)=(3/13)*(2/12)*(1/11)*(10/10)=1/286故X的分布律为X1234P10/135/265/1431/2866例2设随机变量X的分布密度为试求X的分布函数F(x).解：当x<0时，当时，当时，7当时，故X的分布函数为例3设随机变量X的分布律为X-2-1013P1/51/61/51/1511/308求的分布律。解：由X的分布律有Y取值为4,1,0,9P{

3、Y=0}=P{X=0}=1/5P{Y=1}=P{X=-1}+P{X=1}=1/6+1/15=7/30P{Y=4}=P{X=2}+P{X=-2}=0+1/5=1/5P{Y=9}=P{X=3}+P{X=-3}=11/30+0=11/30故Y的分布律为Y0149P1／57／301／511／309例4设随机变量X的分布函数为求:（1）A的值；（2）X落在（0.2,0.6）内的概率；(3）X的密度函数f（x）。解:（1）由F(x)连续性有F(1)=,而而F(1)＝1故A=110(2)P{0.2

4、X-10

5、

6、{X

7、x-10

8、

9、X-10

10、/2

11、正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。2．重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为,出现反面的概率为，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。3．对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。154．已知某元件使用寿命服从参数的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数的分布律5．某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间；若采用乙工艺条件，则完成时间。（1）若要求

12、在60小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50小时内完成，应选何种工艺条件？166．设某批零件的长度服从，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于的概率。7．设分别为服从的随机变量，求的概率密度函数.8．设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7，超过7的水要溢出，求水库存水量的分布函数.9．在箱中装有12只球，其中2只黑球，现从箱中随机地抽取两次，每次抽取一球，用分别表示第一次与第二次取得的黑球数，试分别对有放回抽取与无放回抽取两种情况：（1）写出的联合分布列；（2）判断是否独立。1710．设的联合密度函数为求（1）常数；（2）；（3）；（4）是

13、否独立。11．设相互独立，且密度函数分别为求.12．设相互独立，均服从标准正态分布求的密度函数。1813．设随机变量（）的概率密度为求的概率密度。19参考答案1．分布列P2．3．4．（1）；（2）5．（1）两种工艺均可；（2）选甲为好6．207．（1）；（2）；（3）；8．9．（1）有回放：0101此时，相互独立21（2）无回放：0101此时，不独立10．（1）；（2）；（3）（4）相互独立11．