考研数学概率论辅导讲义

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1、考研数学概率论辅导讲义主讲：马超85第二章随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图852、重要公式和结论（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足下列条件：（1），，（2）。（2）连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有，则称为连续型随机变量。称为的概率

2、密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1°。2°。（3）离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。85（4）分布函数设为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质：1°；2°是单调不减的函数，即时，有；3°，；4°，即是右连续的；5°。对于离散型随机变量，；对于连续型随机变量，。（5）

3、八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时，，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为，，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布，其中p≥0，q=1-

4、p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。85均匀分布设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]上为常数，即 a≤x≤b其他，则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。分布函数为 a≤x≤b0，xb。 当a≤x1

5、正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。具有如下性质：1°的图形是关于对称的；2°当时，为最大值；若，则的分布函数为。。参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，，分布函数为。是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。如果~，则~。。（6）分位数下分位表：；上分位表：。（7）函数分布离散型已知的分布列为 ，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(

6、g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。85例2．1：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X的分布律。例2．2：给出随机变量的取值及其对应的概率如下：，判断它是否为随机变量的分布律。例2．3：设离散随机变量的分布列为，求的分布函数，并求，，。例2．4：是概率密度函数的充分条件是：（1）均为概率密度函数（2）例2．5：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b个球（放回），试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。例2

7、．6：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。例2．7：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例2．8：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b个球，试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。例2．9：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b个球（不放回），试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a≤α

8、，b≤β）。例2．10：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b个球（放回），试求直到第a+b次时才取到白球的概率（a≤α，b≤β）。例2．11：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“抽取次数”，求X的分布律。例2．12：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。例2．13：若随机变量X服从[1，6]上的均匀分布，求方程有实根的概率。例2．14：设非负随机变量Ｘ的密度函数为f(x)=A