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《考研数学资料考研辅导－概率论与数理统计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、概率论与数理统计概率论与数理统计这一章可以分为概率论和数理统计两部分，基木思想是用随机的思想来研究随机现象的统计规律性。其内容是学习随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其联合概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等知识。在研究生入学考试中，本章是《高等数学一》、《高等数学三》和《高等数学四》的考试内容。通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：1、对于随机事件，特别是随机变量及其分布函数、二维随机变量及其联合分布函数应该有清晰的概念。2、对于随机性的方
2、法能运用自如。3、具备对实际问题理解能力，定性分析和定量计算相统一的能力和推理、演绎的逻辑思维能力。一、知识网络图事件的运算和概率计算随机事件和概率加法公式、乘法公式、条件概率公式以及全概率公式和贝叶斯公式的应用事件独立性的判定，古典概型、几何概型问题概率分布和分布函数的性质和计算随机变量及其分布函数离散型和连续型随机变量的计算问题随机变量的函数的分布的求法二维离散型和连续型随机变量概率分布的计算概率论二维随机变量及其联合分布函数二维随机变量取某范围值的概率二维离散型随机变量函数的分布的求法二维连续型随机变量函数的分布的
3、求法离散型和连续型随机变量的数字特征正态分布的数字特征的计算随机变量的数字特征随机变量的独立性、相关性和相关系数切比雪夫不等式数字特征的应用大数定律和中心极限定理大数定律中心极限定理数理统计的基本概念数理统计参数估计点估计矩估计最大似然估计区间估计假设检验，主要是正态总体未知参数的假设检验二、典型错误分析___例1.若P(A)=l/2,P(B)=l/3,P(AB)=l/4,P(B
4、A),P(AB),P(AuB)□［错解］.P(B
5、A)=P(AB)/P(A)=(l/4)/(l⑵二1/2P(AB)=l-P(AB)=3/4P(
6、AoB)=P(A)+P(B)-P(AB),其中P(AB)=P(B-AB)=1/3-1/4=1/12所以P(AuB)=(1-1/2)+1/3-1/12=3/4［分析］在求P(AB)时，想到利用摩根率是对的，但摩根率是忑§=故P(AS)=P(AuB)=1-P(AuB),所以上边的解题是错误的。［正确解］.P(B
7、A)=P(AB)/P(A)=(l/4)/(l/2)=l/2P(AB)=P(AuB)=1一P(AuB)=1・P(A)・P(B)+P(AB)=1-1/2-1/3+1/4=5/12P(AuB)=P(A)+P(B)・P(AB
8、),其中P(AB)=P(B-AB)=l/3-l/4=l/12所以P(AuB)=(1-1/2)+1/3-1/12=3/4例2•—个家庭中有两个小孩，如果已知老大是女孩，则老二也是女孩的概率为多大？如果已知其中有一个女孩，则另一个也是女孩的概率是多大？［错解1.记A=｛老大是女孩｝,令=｛老二是女孩｝,则有A,和A?独立,且P(A)=P(A2)=-,于是P(令IA)=P(AJ=丄，即已知老大是女孩的前提下，老二也是女孩的概率为丄；对第二问，由于生男与生女是相互独立的，故已知其中2有一个是女孩，另一个也是女孩的概率也是丄。2［
9、分析］一般假设各胎生男与生女是独立的且可能性相同。第一问是比较容易解决的，关键是要注意第二问与第一问的区别，在第二问中条件事件是理解为至少有一个是女孩。［止确解］.记A二｛老大是女孩｝，仏二｛老二是女孩｝，则有A和A?独立,且p(A)=p(4)=丄，于是p(a2a［)=p(a2)=~,即已知老大是女孩的前提下，老二也是女孩的概率为丄；对第二问，条件事件是“两个孩子至少有一个是女孩”,2相应求事件就可以表述为“两个孩子均为女孩”，问题于是归结为求戶(仏1人+4)，由P(>41+A2)=1-P(AiA2)=1-P(AiP(
10、A2)=1-^=
11、,p(AA2)=p(A)P(4)=y^=r1/41于是p(aa2ia+A)=—=即已知其屮有一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概率为丄o34例3・设随机变量X的概率密度为f(x)=——，试求：(1)常数A及Xex+厂的分布函数；(2)在两次独立观察中，X都取小于0的数值的概率。AA［错解］⑴由于lim/(x)=l,即lim-——=-=1,故A二2,IOXTO夕+e~X2则X的分布函数为F(x)=［=2arctanex
12、^=2arctanex+厂(2)设两次观察中X取小于0的次数为则§口"2,/刀，其中
13、p=P(g<0)=F(0)=-,于是所求得概率为P^=2)=p2=—.864［分析I解本题目的关键是要熟练的应用概率密度函数的性质，即匚fMdx=1,来求出常数A,而错解屮所用到的性质是错误的，故影响了下面的解题。I正确解］(1)由概率密度的性质知jf(x)dx=^+丫人丫6k=A广］£”心=Aarctanf
14、二=彳
