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1、概率论与数理统计概率论与数理统计这一章可以分为概率论和数理统计两部分，基本思想是用随机的思想来研究随机现象的统计规律性。其内容是学习随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其联合概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等知识。在研究生入学考试中，本章是《高等数学一》、《高等数学三》和《高等数学四》的考试内容。通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：1、对于随机事件，特别是随机变量及其分布函数、二维随机变量及其联合分布函数应该有清晰的概念。2、对于随机性的方法能运用自如。3、具备
2、对实际问题理解能力，定性分析和定量计算相统一的能力和推理、演绎的逻辑思维能力。一、知识网络图二、典型错误分析例1．若P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(AB)=1/4,求P(B
3、A),P(),P()。[错解].P(B
4、A)=P(AB)/P(A)=(1/4)/(1/2)=1/2P()=1-P(AB)=3/4P()=P()+P(B)-P(B),其中P(B)=P(B-AB)=1/3-1/4=1/12所以P()=（1-1/2）+1/3-1/12=3/4[分析]在求P()时，想到利用摩根率是对的，但摩根率是，故P()=，所以上边的解题是错误的。[正
5、确解].P(B
6、A)=P(AB)/P(A)=(1/4)/(1/2)=1/2P()==1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-1/2-1/3+1/4=5/12P()=P()+P(B)-P(B),其中P(B)=P(B-AB)=1/3-1/4=1/12所以P()=（1-1/2）+1/3-1/12=3/4例2.一个家庭中有两个小孩，如果已知老大是女孩，则老二也是女孩的概率为多大？如果已知其中有一个女孩，则另一个也是女孩的概率是多大？[错解].，则有，且，于是，即已知老大是女孩的前提下，老二也是女孩的概率为；对第二问，由于生男与生女是相互独立的，故已知
7、其中有一个是女孩，另一个也是女孩的概率也是。[分析]一般假设各胎生男与生女是独立的且可能性相同。第一问是比较容易解决的，关键是要注意第二问与第一问的区别，在第二问中条件事件是理解为至少有一个是女孩。[正确解].，则有，且，于是，即已知老大是女孩的前提下，老二也是女孩的概率为；对第二问，条件事件是“两个孩子至少有一个是女孩”，相应求事件就可以表述为“两个孩子均为女孩”，问题于是归结为求，由，，于是，即已知其中有一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概率为。例3.设随机变量X的概率密度为，试求：（1）常数A及X的分布函数；（2）在两次独立观察中，X
8、都取小于0的数值的概率。[错解](1)由于=1，即，故A=2,则X的分布函数为(2)设两次观察中X取小于0的次数为，则，其中，于是所求得概率为。[分析]解本题目的关键是要熟练的应用概率密度函数的性质，即，来求出常数A，而错解中所用到的性质是错误的，故影响了下面的解题。[正确解](1)由概率密度的性质知，所以,则X的分布函数为(2)设两次观察中X取小于0的次数为，则，其中，于是所求的概率为。例4.(X,Y)的联合概率分布如下表所示：XY-2-112140000证明X,Y之间不相关。[错证]边缘概率分布如下：X-2-112PY14P0因为，所以X
9、与Y不相互独立，所以X与Y不相关[分析]不相关和独立的关系是：独立一定不相关，但不相关不一定不独立，故上边的证明是错误的。[正确证明]边缘概率分布如下：X-2-112PY14P0可得到，则，所以X与Y不相关，例5.设随机变量X服从区间上的均匀分布，随机变量Y服从二项分布B(3,)，且X与Y的相关系数为0.5，求U=X+Y与V=X-2Y的相关系数。[错解]因为EX=0,EY=1，故E(X+Y)=EX+EY=1,E(X-2Y)=EX+2EY=2又因为DX=,DY=2/3,E（UV）=-3-,所以=1+,同理可求DV=3-,故[分析]解本题的关键是
10、要记准公式和常用分布的期望和方差，上面的解题过程就是由于没有正确地运用公式和结论，因而是错误的。[正确解]由题意知EX=0,DX=,EY=np=1,DY=np(1-p)=2/3，从而有E(U)=E(X+Y)=EX+EY=1，E(V)=E(X-2Y)=EX-2EY=-2，E（UV）=-3-,故COV（U，V）=EUV-EUEV=，=1+，同理可求DV=3-2,则带入可求的例6.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是______[错解]D(3X-2Y)=3DX-2DY=8[分析]由于X和Y相互独立，则协方差
11、为0，故可以得到公式。所以上面的解题是错误的。[正确解]由于X和Y相互独立，则协方差为0，故可以得到公式=44例7.设随机变量的概率分布为。（1）写出其分布函数；（
