概率论与数理统计辅导资料

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1、概率论与数理统计辅导资料引言大家都是数学老师，都愿意认为数学很重要。现代社会对数学的需要也在不断增加。数学自身不仅是一门科学，是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。而且在自然科学，技术科学，经济科学，社会科学的应用不断深入。当前与计算机的结合，更使数学有了广阔的应用领域。概率和统计是不同于其他数学分支的思维方式，而二者之间又有密切的关系。我们在教学实践中要体会概率和统计思想与其他数学思想的不同，但也必须注意到它们与其他数学分支之间的密切关系。要培养学生利用概率、统计的思想思考、处理问题的能力。要想讲好统计，一定要对概率有正确的认识

2、。同时概率也是要中学教材中的必修内容。所以，我们就从概率开始说起。第一部分概率概率这一部分的内容有一条主线贯穿始终：随机现象——随机试验——随机事件——概率——概率的计算与基本性质——应用其中每一个环节都很重要，要理解基本概念。第一节随机事件及其概率A、随机现象与随机事件在一定条件下，一定会出现或不出现的现象，叫确定性现象。在一定条件下，可能会出现，也可能不会出现的现象，叫随机现象。我们不可能遇到除此之外的其他现象了！概率论就是研究随机现象的数学分支。研究随机现象第一步：定义事件考虑一种随机现象，那是在一定条件下的现象，条件要搞清楚。例如，考虑明天是否下雨，那要讲清楚，

3、考虑的是哪个地方，什么时段是否下雨。否则无法研究。我们必须把要研究的随机现象确定下来，才能对它进行研究。所以，我们要首先指出：在给定条件下，可能发生这样的结果，也可能发生那样的结果，这就是随机现象。给定条件实现以后，就会出现一个结果，我们把这叫做一次试验或一次观测。随机现象的特点是，我们知道所有可能的结果有哪些，但是在条件没有实现之前，无法判断会出现哪个结果。我们把在给定条件实现之后，可以判断是否发生的结果叫做随机事件，用大些英文字母表示。例如，研究某个射击运动员的射击水平。在正常条件下，他射出一发子弹，落点会是随机的，都有哪些随机事件呢？无穷多个随机事件：A:十环B:

4、九环，……，E:没有脱靶，F:脱靶，……，等等等等，这些都是可能发生的结果，都是随机事件，只要实现一次条件，即在正常条件下，他射出一发子弹，哪个事件发生，哪个没有发生，一目了然。在给定条件下永远不会发生的事件叫做不可能事件，用字母Φ表示。例如上面例子里，“既没有脱靶，也没有上靶”这个事件就是不可能事件。我们把在给定条件下必然会发生的事件叫做必然事件，用字母Ω表示。例如上面例子里，“脱靶或没有脱靶”就是一个必然事件。把不可能事件和必然事件都看作事件，就好像把空集和全集都作为集合一样。事实上我们把它们作为特殊的随机事件看待。所以今后说到事件，就是指随机事件或其特例。A、事件

5、的概率事件的概率就是刻画该事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标。设A是一个事件，用P(A)表示这个事件的概率。（客观？主观？频率？Bayes?）不管什么观点下的概率，都要满足下面的基本性质：对于任意事件A，虽然这是很简单的，但是如果不强调，就可能在关键时候忘记它的应用。怎样确定一个随机事件的概率？奥地利遗传学家蒙德尔豌豆试验用频率估计概率，用理论计算概率，两相比较，验证了著名的生物遗传基本规律。我们简单地说明一下他的方法。蒙德尔1856年开始了他对可食用豌豆的研究，一直持续到1863年，发现了生物遗传基本规律。他选择了七个有变异的豌豆特征：子的形状，子的颜色，豆荚

6、的形状，豆荚外衣的颜色，未成熟豆荚的颜色，花的位置，豆梗的长度孟德尔把绿色豌豆与黄色豌豆杂交，结果下一代都是黄色豌豆。其他六种的每一种都有相似的结果。我们特别讨论这杂交黄色豌豆。孟德尔把杂交黄色豌豆作为第一子代F1，培育出第二子代F2。在第二子代中豌豆会是什么颜色的呢？用G代表绿色，Y代表黄色。第一子代F1可表示为YG。这样的豌豆自由杂交，在第二子代F2种会出现四种情况：YY,YG,GY,GG。而且每种情况出现的机会均等。YY,YG,GY这三种情况都会对应黄色豌豆，只有GG会对应绿色豌豆，绿色是隐性基因。他预言在F2代中会有75%的黄色豌豆，25%绿色豌豆，两者比例为3

7、：1。试验种植结果大致如此。这就是课本上89页表7-1-1数据的意思。这里用的是频率估计概率的思想。为了估计事件A发生的概率，我们在相同条件下进行重复试验，记录试验次数n和事件A发生的次数m，然后用事件A在这n次试验中发生的频率作为事件A发生的概率的估计值在实践中这是最常用的估计概率的方法。当然有其自身的缺点。一方面这其中有不确定性，依赖于试验。另一方面，有时候不可行，甚至不可能。比如，要估计明天下雨的概率，你不能重复100个明天，看看有几个明天下雨，这成笑话了。但是很多情况的确是可以这样处理的。我们要注意到，有一类事件发生的概率是不需要