文都考研数学高分辅导讲义

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1、2010年考研数学高分规划班辅导讲义——汤家凤第一讲函数、极限、连续一、极限（一）极限基本概念1、极限的定义（1）数列极限：设为一个数列，为常数，若对任意，总存在，当时，有成立，则称为数列的极限，记或。（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设为一个函数，为一个常数，若对任意，存在，当时，有成立，称当时以为极限，记为或。（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设为一个函数，为一个常数，若对任意，存在，当时，有成立，称当时以为极限，记为或。（4）左右极限：，，分别称为函数在处的左右极限，存在都存在且相等。（1）若对任意的，总存在，当时，有，数列是

2、否以常数为极限？（2）若数列有一个子列以常数为极限，数列是否以常数为极限？（3）若数列的奇子列与偶子列都存在极限，数列是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列的极限是否存在？-47-文都教育在线：www.wendu.com2010年考研数学高分规划班辅导讲义——汤家凤2、无穷小（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的性质1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；3）极限与无穷小的关系：（3）无穷小的层次关系1）定义：2）性质：设，且存在，

3、则；的充分必要条件是。（4）当时常见的等价无穷小：1）；2）；3）。（5）无穷大1）定义：2）无穷大与无穷小的关系。问题：（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？（2）设都是无穷小，且，是否一定有？（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。（二）极限的性质1、极限的基本性质（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。（2）有界性1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。2）函数极限的局部有界性：（3）保号性1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；2）若函数是非负（或非正）的

4、，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。（4）列与子列极限极限的关系：-47-文都教育在线：www.wendu.com2010年考研数学高分规划班辅导讲义——汤家凤2、极限的存在性定理与重要极限定理1单调有界的数列必有极限。定理2夹逼定理（数列及函数）：重要极限：（1）；（2）；（3）。3、极限运算性质（1）四则运算性质（2）复合函数极限运算性质注解：问题：（1）若有界，是否一定存在？（2）若，当时，是否一定有？举例说明。（3）若存在，及是否存在？若及存在，是否一定有存在？（4）若，且，是否一定有？举例说明。二、连续与间断（一）基

5、本概念1、函数连续的定义（1）函数在一点连续的定义及等价定义（2）函数在闭区间上连续的定义2、间断及其间断点的分类（1）第一类间断点：（2）第二类间断点。（二）闭区间上连续函数的性质1、最值定理2、有界定理3、零点定理4、介值定理（1）最值型介值定理：（2）端点型介值定理：-47-文都教育在线：www.wendu.com2010年考研数学高分规划班辅导讲义——汤家凤注解：（1）初等函数在其定义域内连续；（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。问题：（1）设都在处间断，则是否一定在处间断？（2）若函数在一点连续，函

6、数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。例题部分一、填空题1、。2、设，则。3、。4、设，则。5、设，则。6、。7、。8、。9、设在点处连续，则。-47-文都教育在线：www.wendu.com2010年考研数学高分规划班辅导讲义——汤家凤二、解答题1、判别函数的奇偶性，并求其反函数。2、求下列极限：（1）。（2）。（3）。（4）。（5）。（6）。（7）。（8）。（9）；（10）。（11）；（12）。3、证明数列极限存在，并求其极限。4、设，证明数列收敛，并求。5、设为常数，。且，证明：。6、求极限。7、设，，且，证明：存在，使得。-47

7、-文都教育在线：www.wendu.com2010年考研数学高分规划班辅导讲义——汤家凤第二讲导数与微分一、导数的基本概念设在的邻域内有定义，，若存在，则称函数在点可导，极限称为函数在处的导数，记为。注解：（1）若存在，称此极限为函数在处的右导数，记为，若存在，称此极限为函数在处的左导数，记为，函数在处可导的充分必要条件是与都存在且相等。（2）导数的等价定义，。注解：导数的几何意义是：函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。问题：（1）设存在，问是否存在？若存在求之，不存在举反例说明。（2）设存在，问是否存在？若存在证明

8、之，若不存在举反例说明。（3）设存在，是否存在？说明理由。（4）设存在，是否存在？说明理由。（5）设在处可导，问是否在处连续？（6）在处可导，是否有在的邻域内连续？（7）是否存在只有一个可导点的函数？-47