2010文都考研数学春季高分规划班辅导讲义.pdf

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1、高等数学部分第一讲函数、极限、连续一、极限（一）极限基本概念1、极限的定义（1）数列极限：设{a}为一个数列，A为常数，若对任意0，总存在N()0，当nnN()时，有

2、aA

3、成立，则称A为数列{a}的极限，记limaA或nnnnaA(n)。n（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设f(x)为一个函数，A为一个常数，若对任意0，存在X0，当

4、x

5、X时，有

6、f(x)A

7、成立，称f(x)当x时以A为极限，记为limf(x)A或f(x)A(x)。x（

8、3）函数当自变量趋于有限值的极限：设f(x)为一个函数，A为一个常数，若对任意0，存在0，当0

9、xa

10、时，有

11、f(x)A

12、成立，称f(x)当xa时以A为极限，记为limf(x)A或f(x)A(xa)。xadefdef（4）左右极限：f(a0)limf(x)，f(a0)limf(x)，分别称f(a0),f(a0)xa0xa0为函数f(x)在xa处的左右极限，limf(x)存在f(a0),f(a0)都存在且相等。xa问题：（1）若对任意的

13、0，总存在N0，当nN时，有

14、aA

15、2，数列{a}是否nn以常数A为极限？（2）若数列{a}有一个子列以常数A为极限，数列{a}是否以常数A为极限？nn（3）若数列{a}的奇子列与偶子列都存在极限，数列{a}是否有极限？若其奇子列和偶nn子列极限存在且相等，数列{a}的极限是否存在？n12、无穷小（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的性质1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；3）极限与无穷小的关

16、系：（3）无穷小的层次关系1）定义：2）性质：设~,~，且lim存在，则limlim；~的充分必要条件是o()。（4）当x0时常见的等价无穷小：x1）x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~e1~ln(1x)；2xaa22）1cosx~,1cosx~x；22a3）(1x)1~ax。（5）无穷大1）定义：2）无穷大与无穷小的关系。问题：（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？（2）设,,都是无穷小，且o(),

17、o()，是否一定有~？（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。（二）极限的性质1、极限的基本性质（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。（2）有界性1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。2）函数极限的局部有界性：（3）保号性1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。（4）列与子列极限极限的关系：22、极限的存在性定理与重要极限定理1单调有界的数列必有

18、极限。定理2夹逼定理（数列及函数）：重要极限：1xsinxa1（1）lim1；（2）lim(1)e；（3）limlna。x0x0x0x3、极限运算性质（1）四则运算性质（2）复合函数极限运算性质注解：问题：（1）若{a}有界，lima是否一定存在？nnn（2）若limaA，当mn时，是否一定有

19、aA

20、

21、aA

22、？举例说明。nmnn（3）若lim[f(x)g(x)]存在，limf(x)及limg(x)是否存在？若lim[f(x)g(x)]及limg(x)存在，

23、是否一定有limf(x)存在？（4）若f(x)0(0)，且limf(x)A，是否一定有A0(0)？举例说明。二、连续与间断（一）基本概念1、函数连续的定义（1）函数在一点连续的定义及等价定义（2）函数在闭区间上连续的定义2、间断及其间断点的分类（1）第一类间断点：（2）第二类间断点。（二）闭区间上连续函数的性质1、最值定理2、有界定理3、零点定理4、介值定理（1）最值型介值定理：（2）端点型介值定理：3注解：（1）初等函数在其定义域内连续；（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、

24、左右极限相等。问题：f(x)2（1）设f(x),g(x)都在xa处间断，则f(x)g(x),f(x)g(x),,f(x)是否一定g(x)在xa处间断？（2）若函数在一点连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。例题部分一、填空题2xe11、lim______。x0xln(12x)323b2、设2x2~ax(x0)，则a___,b___。sinxtanx3、lim______。x0x2arcsinxln[1f(x)]f(x)4、设l