材料力学 第三章 扭转

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1、第三章扭转第三章扭转(Torsion)3.1扭转的概念及实例3.2外力偶矩的计算·扭矩及扭矩图3.3薄壁圆筒扭转3.4圆轴扭转时的应力3.5圆轴扭转时的变形*3.6非圆截面杆扭转的概念机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等,扭转是其主要变形之一。3.1扭转的概念及实例3.1扭转的概念及实例在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动,这就是扭转变形。扭转角():任意两截面绕轴线相对转动而发生的角位移

2、。切应变():纵向线倾斜的角度(直角的改变量)。MeABOMeB'jg3.1扭转的概念及实例3.2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图3.2.1传动轴的外力偶矩一传动轴,转速为n,所传递的功率为P,则作用在该轮上的外力偶矩MeGB3101-93中规定的数值方程式的表示方法。3.2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图轴所承受的力偶矩与传递的功率成正比,与轴的转速成反比。所以在传递同样的功率时,低速轴所受的力偶矩比高速轴大。传动系统中,低速轴的直径要比高速轴的直径粗一些。3.2.2扭矩及扭矩图分析图示圆轴任一横截面n－n上的内力。在

3、n－n截面处假想将轴截开取左侧为研究对象。横截面上的内力应是一个力偶,称为该横截面上扭矩取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象数值相同但转向相反。3.2.2扭矩及扭矩图扭矩的符号规定如下:采用右手螺旋法则,如果以右手四指表示扭矩的转向,则姆指的指向离开截面时的扭矩为正。反之,姆指指向截面时则扭矩为负。3.2.2扭矩及扭矩图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩,从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线,称为扭矩图。例:一传动轴如图所示,其转速n＝300r/min,主动轮输入的功率为

4、有P1=500kW。若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2＝150kW、P3＝150kW及P4＝200kW。试做扭矩图。ABCDM1M2M3nM4ABCDM1M2M3nM4M2M1M3M4ABCD解:计算外力偶矩M3M222BCM2M1M3M4ABCD计算CA段内任横一截面2-2截面上的扭矩。假设T2为正值。221133T2xT2是负值扭矩。同理,在BC段内M211BT1xM433BT3在AD段内M3M222BCM2M1M3M4ABCD221133T2x作出扭矩图M211BT1x9.564.786.3

5、7T图(kN·m)从图可见,最大扭矩发生在CA段内,其值为9.56kN·m。MeMe3.3薄壁圆筒的扭转r0d薄壁圆筒:壁厚d远小于平均半径r03.3.1薄壁圆筒扭转时的切应力MennMeMennT外力偶矩Me。任一横截面n-n上的扭矩为T由于横截面上的应力合成结果等于横截面上的扭矩,所以横截面上的应力只能是切应力。3.3薄壁圆筒的扭转实验:MeMe预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线,从而形成一系列的正方形格子。施加外力偶矩Me。现象:所有的圆周线都保持不变;所有的纵向线发生倾斜,在小变形时仍保持为直线。ABC

6、D3.3薄壁圆筒的扭转设想:薄壁圆筒扭转后,横截面保持为形状、大小均无改变的平面,相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。MeMeABCD3.3薄壁圆筒的扭转gMeMeABCDtdA结论:横截面上各点处的切应力的方向必与圆周相切。Menn3.3薄壁圆筒的扭转MeMeABCD圆筒两端截面之间相对转动的角位移,称为相对扭转角,用j表示。圆筒表面上每个格子的直角的改变量,称为切应变。用g表示。OjggABCDA1B1C1D1C1'D1'C'g3.3薄壁圆筒的扭转MeMeABCDOjggABCDA1B1C1D1C1'D1'C'g切

7、应变g与横截面上沿圆周切线方向的切应力是相对应的。圆周各点处切应力的方向与圆周相切,且数值相等。由于薄壁圆筒的壁厚d远小于平均半径r0,可以近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。3.3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒扭转时,横截面上任一点处的切应力t都是相等的,而其方向与圆周相切。横截面上的内力与应力间的静力关系为:MetdAr0nnx对于薄壁圆筒,r可由平均半径r0代替。3.3薄壁圆筒的扭转从圆筒上取出微小矩形单元体如图所示:3.3.2切应力互等定理xydydzabdzdxcttMeMeabcddx3.3薄壁圆筒的扭转

8、xydydzabdzdxctt由平衡方程SFy=0可知,两侧面的内力元素tdydz大小相等,方向相反,将组成一个力偶。其矩为(tdydz)dx。要满足平衡方程SMz=0,SFx=0在单元体的上、下两平面上必有大小相等,指向相反的一对内力元素t'dxdz并组成力偶,其矩为(t'dxdz)dy。此力偶矩与前一力偶矩数值相等而转向相反,