5-2定积分的计算

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1、一、积分上限的函数及其导数二、牛顿—莱布尼兹公式5.2定积分的计算三、定积分的换元积分法四、定积分的分部积分法一、积分上限的函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的xy=f(x)积分存在，且对于给定的每一个x()，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分是上限x的函数，这个积分通常称为积分上限的函数，又称变上限积分，记作.：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念：在求积分时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，为了防止混淆，常记为注意定理1（原函数存在定理）例1求的导数.解推论若则练习

2、1求练习2求的导数.解解例2求解练习3解二、牛顿—莱布尼兹公式定理上式称为牛顿-莱布尼兹公式，又被称为微积分学基本定理.牛顿－莱布尼兹公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的改变量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.例3求解例4求解例5求解解例6设求当被积函数是分段函数时，则应利用区间可加性把积分区间分为多部分计算.原式解练习4求练习5设,求.解练习6求解例7解三、定积分的换元积分法定理设函数f(x)在区间[a,b]

3、上连续，若满足下列条件：(2)在上具有连续导数，则有上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.注意：(1)定积分的换元法在换元后，积分上、下限也要作相应的变换，即“换元必换限”；(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量；(3)新变元的积分限可能α>β，也可能α<β，但一定要求满足，即对应于，对应于.例8求解例9求解法一解法二证明例10证明：若f（x）在[-a，a]上连续，（1）当f（x）为偶函数时，（2）当f（x）为奇函数时，例10表明了连续的奇、偶函数在对称区间[–a,a]上的积分性质，即偶函数在[–a,a]上的积分等于区间[0,a]上积分

4、的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.例11求解例12证明证明原题得证.练习7求解令四、定积分的分部积分法],[ba上的定积分分别求等式两端在其中为v（凑微分）的优先次序是：指、三、幂、反、对.例13求例14求例15求解例16求解:练习8求解:练习9计算解令练习10解可以看作是由和u=sinx复合而成。由复合函数的求导法则得用同样的方法可得练习11解由备忘练习12答案对积分上下限函数的求导运算熟练以后，就可以利用导数研究含有积分形式的函数的性质，例如单调性、极值、凹凸性或用L’Hospital法则求极限等等

5、。练习13解由f′(x)=(1+x)arctanx=0得f(x)的驻点x=-1、x=0.又因此练习14函数f(x)是以T为周期的连续周期函数，试证：证设F(u)=则又练习15答案练习16求定积分解练习17答案练习18解练习19答案练习20计算下列定积分：练习21答案练习22计算定积分解练习23答案注计算定积分时,也可以用不定积分(或其他方法)先求出被积函数的一个原函数，然后利用Newton-Leibniz公式计算定积分。一般说来，采用这种方法比用定积分的换元法(或其他定积分计算方法)计算量要大。而且，有时不定积分的换元法无能为力时定积分的换元公式能奏效。例如求因此练习24解

6、对分部积分的一般情形，其技巧与对应的不定积分类似。注意上下限的对应。练习25求定积分：解练习26答案计算下列定积分：说明：可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.由