信号与系统教学课件作者王瑞兰第八章节2连续系统状态方程的求解课件

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1、8.3连续系统状态方程的解连续系统状态方程的一般形式为式中状态方程的求解方法变换法时域法一、状态方程的时域解将式等号两端前乘以并移项得根据矩阵指数函数的性质，上式可写成为等号两端取t0到t的积分，得上式等号两端前乘以并移项，得式中时的状态矢量，即初始状态矢量。第一项只与初始状态有关，是系统状态矢量的零输入解。第二项只与输入矢量有关，是系统状态矢量的零状态解。状态转移矩阵有以下重要性质：矩阵称为状态转移矩阵，用表示，得则写为则状态方程的解可以用类似于矩阵乘法的运算规则定义两个函数矩阵的卷积积分。状态方程的解可写成简练的形式若表示输出

2、矢量的零状态响应零输入响应零状态响应将上式代入中得定义一个p×p对角方阵于是式中称为冲激响应矩阵。矩阵。其中结论：试求系统的状态和输出。例8.3-1如某LTI系统的状态方程和输出方程分别为其初始状态和输入分别为A的特征多项式解（1）求状态转移矩阵A的特征根为用成分矩阵法求由给定方程得知系统矩阵可得矩阵指数函数为其中将它们代入式，得可用另外一种方法，求得相同结果。由将有关矩阵代入，得（2）求状态方程的解零输入解零状态解（3）求输出其全解将和代入到输出方程，得零输入响应零状态响应例8.3-2给定系统的状态空间方程为已知系统初始状态输入

3、为单位阶跃函数。试求该系统的状态矢量x和输出y。解系统状态转移矩陈为:（1）计算状态矢量解x(t)。零状态分量于是状态矢量解为(2)计算输出响应y(t)。零输入分量零状态分量所以，系统的输出响应为解1、求状态转移矩阵求该系统的状态转移矩阵和系统矩阵A例8.3-3一个二阶系统，其状态方程为。已知当时当时状态矢量的零输入响应为2x2矩阵由已知条件可得由上式可解得将它们综合在一起，有2、求系统矩阵，根据矩阵指数函数的性质。令t=0得所以二、状态方程的变换解设状态矢量的分量的把它们简记作由拉普拉斯的微分性质有对取拉普拉斯变换即上式等号两

4、端前乘以得零输入解零状态解于是得状态转移矩阵为了方便，定义可称为预解矩阵。于是有取上式的逆变换就得到对输出方程取拉普拉斯变换，得将上式代入，得例8.3-4已知系统的状态空间方程为系统输入为单位阶跃函数，初始状态x(0-)=[12]T。试求（1）状态转移矩阵和冲激响应矩阵h(t)；（2）系统状态矢量x(t);(3)系统输出y(t)解(1)计算φ(t),h(t)。先求预解矩阵。因为其行列式和伴随矩陈为所以取的拉普拉斯反变换，得状态转移矩陈为系统函数矩阵取其拉普拉斯反变换,得冲激响应矩阵为(2)计算状态矢量x(t)。状态矢量的零输

5、入分量状态矢量的零状态分量于是系统的状态矢量为(3)计算输出y(t)。输出的零输入分量输出的零状态分量因此,系统输出,即完全响应为将连续时间LTI系统状态空间分析的一般步骤归纳如下：第一步，确定系统状态变量。一般地说，可以选取系统中表征记忆元件能量状况的物理量作为状态变量。通常，对于用信号流图(或框图)表示的模拟系统，选取一阶系统(包括积分器)输出变量为状态变量；对于LTI电系统，选取独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。第二步，用直接法或间接法列出系统的状态空间方程。第三步，计算状态转移矩阵或预解矩阵第四步,求状态矢量x(

6、t),其计算公式为时域S域第五步，计算冲激响应矩阵或系统函数矩阵H(s)=CΦ(s)B+D第六步，计算系统输出(响应)y(t)，具体方法有两种：方法1如果状态矢量解已经求出，可将它直接代入输出方程得到y(t)。方法2如果状态矢量解未知，可按下列公式计算：时域：S域：例8.3-4描述二阶连续系统的动态方程为求描述系统输入，输出的微分方程。解系统函数为考虑到D=0和三、由状态方程判断系统的稳定性将式（2）代入式（1）得：H(s)的极点就是的根，对于因果系统H(s)的所有极点位于左半s平面，则系统稳定（对于高阶系统，可以利用罗斯准则

7、来判断。）例8.3-5设某连续系统的状态空间描述方程中，其系数矩阵试问当K满足何条件时，系统是稳定的?解根据矩阵A的特征多项式排出罗斯阵列为若A的特征根均位于S平面的左半开平面上，则必须要求罗斯阵列的第一列数均大于零，故有解得K＞3,即当K＞3时，该系统是稳定的。本节小结1、连续系统状态方程的时域解2、连续系统状态方程的变换域解