信号与系统教学课件作者王瑞兰第八章节3离散系统状态方程的求解课件

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1、复习1、连续系统状态方程的时域解2、连续系统状态方程的变换域解8.4离散系统状态方程的解离散系统状态方程的一般形式为式中状态方程的求解方法变换法时域法一、状态方程的时域解求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。例8.4-1某离散系统的状态方程为设初始状态和输入为求方程解。令k=0，得解将输入和初始状态逐次代入状态方程：令k=1，得用递推法一般难以得到闭合形式的解。令k=2，得如果则上式第一项为零输入解，第二项为零状态解。矩阵称为状态转移矩阵，用表示，即当时，有离散系统的转移矩阵的性质如下设，则得由于这里，系统的输出定义一个p×

2、p的对角矩阵；即显然有于是又可写为式中它是一个q×p矩阵，可称为单位序列响应矩阵。上式第一项是零输入响应。上式第二项是零状态响应。例8.4-1已知矩阵求其矩阵函数Ak。解矩阵A的特征方程为方程有两个相异的特征根在用状态分析系统时，求状态转移矩阵是关键步骤。矩阵函数Ak可表示成解得将以上系数值β0、β1代入得例8.4-2如离散系统的动态方程为其初始状态和输入分别为求系统的状态和输出。解（1）求状态转移矩阵由给定方程可知，系统矩阵其特征多项式其特征根为用成分矩阵法求状态转移矩阵可求得成分矩阵另外一种求方法。状态转移矩阵可得将代入上式，

3、得由上式可解得将它们代入，得状态转移矩阵将有关矩阵代入上式，得零输入解（2）求状态方程的解其全解零状态解（3）求系统的输出零状态响应（考虑到D=0）将代入，得零输入响应其全响应零状态响应也可通过单位响应矩阵求得（D=0）。于是系统的零状态响应二、状态方程的变换解设状态矢量的分量的z变换为则状态矢量的z变换为把它简记为同样地，输入输出矢量的z变换简记为零状态解的象函数上式等号两端前乘以，得取该式的z变换，有零输入解的象函数可称为预解矩阵。于是可以写为为了方便，定义于是，得状态转移矩阵式中求状态转移矩阵和单位序列响应矩阵。例8.4-3

4、如离散系统的动态方程为解由以上方程知，系统矩阵可得于预解矩阵取其逆变换，得考虑到D=0，有系统函数矩阵取其逆变换，得求状态转移矩阵和描述该系统输入输出关系的差分方程。例8.4-4某离散系统的动态方程为其逆矩阵解由给定的状态方程，可得特征矩阵（1）求状态转移矩阵（2）求差分方程取其逆变换，得已知系统函数考虑到D=0，得由不难写出，描述系统的差分方程为三、由状态方程判断系统的稳定性H(z)的极点就是的根，对于因果系统H(z)的所有极点位于单位圆内，则系统稳定（对于高阶系统，可以利用朱里准则来判断。）例8.4-5如某离散系统的状态空间描

5、述方程中，系数矩阵试问K满足何条件时，系统是稳定的?解根据A的特征多项式1-0.2K-0.1-0.1K-0.210.990.1K-0.2K-0.02排出朱里表:应用朱里准则，若系统是稳定的，则必须有本节小结1、离散系统状态方程的时域解2、离散系统状态方程的变换域解