信号与系统教学课件作者王瑞兰第七章节2系统稳定性课件

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1、复习(系统函数与时域特性）*H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变化。*H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或右半开平面上的极点，其所对应的响应函数都随t的增长而增大。当t→∞时，响应趋于无限大。这样的系统是不稳定的。*H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的。当t→∞时，响应趋近于零。结论：极点全部在左半开平面的系统（因果）是稳定的系统。jS平面图H(s)的极点与所对应的响应函数H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列都是衰减的，当k趋于无限时，响应趋于零。极点全部在单位圆内的系统(因果）是稳定系统。H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应序列的幅度

2、不随k变化。H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上极点或在单位圆外的极点，其所对应的响应序列都随k的增大而增大，当k趋于无限时，它们都趋近于无限大。这样的系统是不稳定的。7.2系统的稳定性主要内容：1、系统的因果性；2、连续系统稳定性判断；3、离散系统稳定性判断。一、系统的因果性就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。因果系统指的是系统的零状态响应不出现于激励之前的系统。也就是说如果系统的零状态响应都有连续因果系统的充分和必要条件是：冲激响应或者，系统函数的收敛域为离散因果系统的充分和必要条件是：或者，系统函数的收敛域为二、系统的稳定性稳定系统一个系统（连续的或离散的），如果对任意其零状

3、态响应的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BOBI)稳定的系统，简称为稳定系统。也就是说，设为正实常数，如果系统对于所有的激励则称该系统是稳定的。连续系统是稳定系统的充分和必要条件是式中M为正常数。**系统函数的收敛域包含虚轴，该系统为稳定的。**系统函数的收敛域包含单位圆，该系统为稳定的。离散系统是稳定系统的充分和必要条件是式中M为正常数。例7.2-1如图所示因果反馈系统，子系统的系统函数当常数K满足什么条件时，系统是稳定的？G(s)F(s)Y(s)++KX(s)解：反馈系统的系统函数的极点为使极点均在左半开平面，必须可解得K<2，即当K<2时系统是稳

4、定的。例7.2-2设图示的离散因果系统，当K满足什么条件时，系统是稳定的？解设系统左端加法器的输出为X(z)。其极点当为实极点，为使极点在单位圆内，必须同时满足不等式解上式分别得。因而有。当时为复极点，它可写为为使极点在单位圆内，必须即系统是稳定的。可解得。综合以上结果可知，当时三、连续（因果）系统的稳定性准则连续因果系统的稳定准则也称为罗斯-霍尔维兹准则。连续系统的系统函数式中所有的根均在左半开平面的多项式称为霍尔维兹多项式。罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式是否为霍尔维兹多项式的准则。如果的任何一个（或多个）系数为零或负值，那么它就不是霍尔维兹多项式，也就不需要进一步研究。但是，即使所

5、有的系数都是正数，也可能还有右半开平面（或虚轴）上的根，因此还需进一步检验。1、判断多项式的所有系数是否大于0。判断多项式是否为霍尔维兹多项式的步骤：2、若所有系数均大于0，用罗斯准则进一步判断。行1……2……3……4……………………n+1…罗斯阵列**在排表过程中，任何一行的系数可以同乘以（或除以）某个正数而不会改变判别结果。罗斯准则：多项式是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大于零。在例7.2-1中利用上式容易求得该系统为稳定系统的条件为对于二阶系统只需即可。例7.2-3判别多项式是否为霍尔维兹多项式。解排成罗斯阵列如下：以上阵列的第一列元素不全为正，所以不是霍

6、尔维兹多项式。第一列元素改变符号两次，因此它有两个右半平面的根。例7.2-4已知某系统的系统函数为使系统稳定，常数K应满足什么条件？解将的特征多项式的系数排成罗斯阵列为所以，当时系统是稳定的。复习连续系统稳定性的判断方法：——罗斯-霍尔维兹判断准则1、系统稳定的充分必要条件是什么？2、什么样的多项式是霍尔维兹多项式？3、怎样判断霍尔维兹多项式？4、罗斯阵列的形式？5、罗斯准则的要点是什么？【例1】已知三个线性连续系统的系统函数分别为：判断三个系统是否为稳定系统。解H1(s)的分母多项式的系数a1=0，H2(s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以H1(s)和H2(s)对应的系统为不稳定

7、系统。H3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一步用R-H准则判断。H3(s)的分母为A3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4，罗斯阵列为因为A3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。【例2】图所示为线性连续系统的S域方框图表示。图中，H1(s)为：K取何值时系统为稳定系统。解令加法器的输出为X(s)，则有由上式得根据H(s)的分母构成罗斯阵列，得根据R-H准则，若和-