《点估计的优良性》PPT课件

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1、点估计的优良性林春艳山东财经大学统计学院点估计的优良性对于未知参数，我们前面讲了两种估计方法：矩估计和极大似然估计。一般来讲，用这两种估计方法得到的估计量是不一样的，那么这里就有一个优劣问题。判断一个估计量的优劣一般有三种标准：一、无偏性二、有效性三、相合性（一致性）一、无偏性定义3.1设为参数的一个估计量，若，则称为的一个无偏估计量，否则称是有偏的。如果，则称为的渐进无偏估计。无偏性是对估计量的最基本要求。其含义为当一个无偏估计量被多次使用时，其估计值在未知参数附近波动，且这些估计值的理论平均值等于该未

2、知参数。由第二个例题可以看出，一个参数的无偏估计可能不惟一，此时用无偏性来评价这些估计量已经失效，需要引入其他评价标准。二、有效性与有效估计量无偏性只是估计量的一个评价标准，当无偏估计不惟一时，我们应当考虑另外的评价标准，有效性就是其中一个。定义3.2设总体服从某种分布，为未知参数，是来自总体的样本，若与都是的无偏估计，且对一切，都有，则称比有效。也就是说，在的无偏估计中，方差越小越有效。一个参数的无偏估计的方差可不可以任意少，或者说是否有一个下界？为了回答该问题，我们需要对总体的分布做一些假设。正则性条

3、件：设总体的概率密度函数为，其中参数未知，关于可导，且的取值与的非零区域无关，即与无关。是来自总体的样本。为了将问题一般化，我们考虑的函数的无偏估计量的方差，其中关于可导。T必须满足特别地，若取，则上式为其中称为参数的信息量。定义3.3如果的无偏估计达到了罗-克拉美不等式的下界，即则称T为的有效估计量。其实，罗-克拉美不等式所规定的下界不是整个无偏估计的下界，而是无偏估计类中的一个子集-----正规无偏估计类的方差下限。定义3.4设T为的一个无偏估计量，称为T的有效率。为了下面计算的方便，我们给出信息量的

4、另一种表示法。性质本节前面的推导以及例题均假设总体X为连续随即变量，其实，罗-克拉美不等式以及有效估计量的定义对离散型的总体也是成立的。定理3.3设总体的概率函数或概率密度函数关于可导，其中为未知参数，且与无关，是来自总体的样本。如果其中与只与有关。则为的无偏有效估计量。三、相合估计（一致估计）我们不仅希望一个估计量是无偏的，且具有较小的方差，还希望当样本容量n无限大时，估计量能在某种意义下收敛于被估计的参数值，这就是所谓的相合性（或一致性）的要求。定义3.5设是未知参数的估计序列，如果依概率收敛于，即对

5、任意，有则称是的相合估计或一致估计。相合性是对估计量的一个基本要求。一个相合估计量意味着，只要样本容量n足够大，就可以保证估计误差达到任意给定的精度。如果一个估计量不是相合估计，则它就不是一个好的估计量，在应用中往往不予考虑。定理3.4设是的一个无偏估计，若且则是的相合估计。四、充分统计量统计推断都是从样本出发，在具体的推断过程中，都是通过统计量，来进行的。通俗地讲，统计量是对样本的一个“加工”或压缩（其维数由n降为k），其目的是为了“去粗取精”，使之形式更加简单，使用更加方便。例如，样本均值与样本方差，

6、，；这是经常用到的统计量，是一个2维向量，而通常样本容量n要大得多。自然要问，通过压缩或降维以后的统计量来推断总体与通过原有样本X来推断总体，其效果是否一样？即是否会损失有用的信息？如果效果一样，信息未受到任何损失，则该统计量就称为充分统计量。充分统计量是Fisher于1922年提出来的，这是统计学中非常重要的概念，因为它不损失信息地把n维样本简化成k维统计量（通常k比n小很多），在此基础上进行统计推断要简单方便得多。定义3.6设总体X具有分布函数，是来自总体X的样本，为一个统计量。当给定T=t时，若样本

7、的条件分布与参数无关，则称T为的充分统计量。定义中样本的分布与无关，意味着在给定T=t时，样本的剩余部分不再包含的信息。也就是说在T中包含的全部信息。这正是充分统计量的含义。定理3.5Neyman-Fisher(因子分解定理)设总体X的概率函数或概率密度函数为，其中参数未知。一个统计量为的充分统计量的充要条件为样本的联合概率函数或联合概率密度函数可以分解为其中是仅依赖于而与无关的非负函数，是与的非负函数。定理3.6设是的一个充分统计量，若是单值可逆函数，则也是的充分统计量。