概率统计和随机过程课件82点估计量的优良性

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1、第二节点估计量的优良性1课件1、矩方法；（矩估计）2、极大似然函数法（极大似然估计）.复习点估计的方法1.矩方法方法用样本的k阶矩作为总体的k阶矩的估计量,建立含有待估计参数的方程，从而可解出待估计参数2课件设待估计的参数为设总体的r阶矩存在，记为设X1,X2,…,Xn为一样本，样本的r阶矩为令——含未知参数1,2,,k的方程组3课件解方程组，得k个统计量：——未知参数1,2,,k的矩估计量——未知参数1,2,,k的矩估计值代入一组样本值得k个数:4课件定义1:(1)设r.v.X的概率密度函数为f(x,),其中为未知

2、参数(f为已知函数).x1,x2,,xn为样本X1,X2,,Xn的样本观察值,称为变量X关于样本观察值x1,x2,,xn的似然函数。若X是离散型随机变量，似然函数定义为2.极大似然估计5课件定义2如果似然函数在时达到最大值,则称是参数的极大似然估计。通常步骤：第一步似然函数为注:求导不是求极大似然估计唯一方法第二步令解出6课件对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用什么标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1)无偏性(3)一致性(2)最小方差无偏估计（有效性）第二节点估计量的优良性7课件一

3、、无偏估计则称为的无偏估计。定义1设(简记为)为未知参数的估计量，若(真值)8课件例1：样本均值和样本方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计量.计算是总体X的样本,一般的设总体X的k阶矩存在容易知道:不论X服从什么分布,是的无偏估计量.10课件例2设总体X的概率密度为(4)求的方差X1,X2,,Xn为来自总体X的样本.(1)求总体均值EX,总体方差DX；(2)求的矩估计量;(3)是否为的无偏估计；11课件解(1)总体均值总体方差12课件(3)所以是的无偏估计;(4)的方差(2)令得的矩估计量为13课件二、最小方差无偏估计则称是的

4、最小方差无偏估计。定义2设是的一个无偏估计，若对于的任一无偏估计，成立定义设有效性都是总体参数的无偏估计量,且则称比更有效.14课件例3设X1,X2,,Xn为来自于总体X的样本,总体均值EX=,总体方差DX=2,求的最小方差线性无偏估计。解已知X1,X2,,Xn独立且与X同分布,的线性估计是将X1,X2,,Xn的线性函数问题是如何选取的值，使得无偏性和最小方差这两个要求都能得到满足。作为的估计量。15课件无偏性要求最小方差要求这是一个求条件极值问题，用拉格朗日乘数法，令达到最小，易知由条件得到于是是的最小方差无偏估计。得

5、若和都是的无偏估计量，且成立，则通常称估计量较有效,或较佳,或较优.例设X1,X2,X3为总体的一个样本,试证下列估计量都是总体均值的无偏估计量,且问哪一个最佳？18课件三、一致估计设为总体参数的估计量，显然与样本X1,X2,,Xn有关，我们希望会随着样本容量n的增大而越接近于，这一要求便是衡量估计量好坏的另一标准。则称为的一致性估计。定义3设为未知参数的估计量，若依概率收敛于，即对任意的>0,成立20课件例4试证样本均值为总体均值的一致性估计。证因为所以，对于相互独立且服从同一分布的随机变量X1,X2,,Xn，由大数定理

6、，即得此外,还可证明样本方差S2是总体方差2的一致性估计.21课件例5证明正态总体N(,2)的样本方差S2是总体方差2的一致性估计量。证由切比雪夫不等式有而22课件例6X~N(0,2),其中0为已知,X1,X2,,Xn为样本,记证明为2的无偏估计,一致估计.注意:不是样本的二阶中心矩.本题即要证23课件例7总体X的概率密度X1,X2,X3为样本证明为的无偏估计量,并比较它们的有效性.解:记Y=max(X1,X2,X3),Z=min(X1,X2,X3)24课件为的无偏估计量同样的方法可得:因此比更为有效26课件设总体分布含有

7、一未知参数，又x1,x2,,xn为来自于总体的样本，若对于给定(0<<1)，统计量1(x1,x2,,xn)和2(x1,x2,,xn)满足则称区间[1,2]为相应于置信度是1-的置信区间，简称置信区间。一、置信区间第三节置信区间1,2分别称为置信下限和置信上限.(1-)称为置信度。注意：区间[1,2]是随机区间。二、单侧置信限若对于给定的(0<<1),统计量1(x1,x2,,xn)满足28课件则称区间[1,+)为相应于置信度是1-的单侧置信区间，1称为置信度是1-的单侧置信下限。类似，满足下式

8、问题:如何确定总体参数的区间估计[1,2]呢？对于一般总体是难于确定的.现仅能确定正态总体N(,2)中参数,2的区间估计这对许多实际应