八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形19.1.2矩形的判定第2课时矩形的判定的运用课堂练习新版华东师大版

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第19章　矩形、菱形与正方形19.1.2.2矩形的判定的运用1．[上海]已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是(　　)A．∠BAC＝∠DCA　　　　B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD　　　　D．∠BAC＝∠ADB2．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是(　　)A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90°B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BDC．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD＋∠ADC＝180°D．∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ABC＝∠ADC＝90°3．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.求证：(1)△PHC≌△CFP；(2)四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E、F分别在边AB、BC上，AE＝DF＝DC.(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)当∠FDC与∠EFB满足数量关系____________________时，四边形AEFD是矩形，并说明理由． 5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形；(3)当OD与AC满足怎样的数量关系时，四边形ABCD是矩形？并说明理由．6．[xx·涵江区期末]如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.(1)求证：四边形AGPH是矩形；(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．7．[xx·娄星区期末]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1.(1)判断△BEC的形状，并说明理由；(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；(3)求四边形EFPH的面积． 8．[xx·宽城区期末]如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝4，CF＝3，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1．C2．C3．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，AD∥BC.又∵EF∥AB，AD∥GH，∴EF∥CD，BC∥GH，∴∠CPF＝∠HCP,∠CPH＝∠PCF，∵CP＝CP，∴△PHC≌△CFP；(2)由(1)知AB∥EF∥CD,AD∥GH∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形．∴∠D＝∠B＝90°，∴平行四边形PEDH和平行四边形PFBG都是矩形．4．解：(1)证明：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠C.∵∠B＝∠C，∴∠DFC＝∠B，∴AE∥DF.∵AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形．(2)当∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形．理由如下： ∵2∠DFC＋∠FDC＝180°，∠FDC＝2∠EFB，∴2∠DFC＋2∠EFB＝180°，∴∠DFC＋∠EFB＝90°，∴∠DFE＝180°－90°＝90°.∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形．5．解：(1)证明：∵点O是AC的中点，∴OA＝OC.∵AE＝CF，∴OE＝OF.∵DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF.(2)∵△BOE≌△DOF，∴OD＝OB.∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．(3)结论：当OD＝AC时，四边形ABCD是矩形．理由：∵OD＝AC，OD＝OB，∴BD＝AC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．6．解：(1)证明∵AC＝9，AB＝12，BC＝15，∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，∴AC2＋AB2＝BC2，∴∠A＝90°.∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°，∴四边形AGPH是矩形．(2)存在．理由如下：如答图，连结AP. ∵四边形AGPH是矩形，∴GH＝AP.∵当AP⊥BC时，AP最短．∴9×12＝15·AP.∴AP＝.7．解：(1)△BEC是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，由勾股定理得CE＝＝＝，同理可得BE＝2，∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形．(2)四边形EFPH为矩形．证明：∵在矩形ABCD，AD＝BC，AD∥BC，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.又∵DE＝BP，∴AE＝CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形．∵∠BEC＝90°，∴平行四边形EFPH是矩形．(3)在Rt△PCD中，FC⊥PD， 由三角形的面积公式得PD·CF＝PC·CD，∴CF＝＝，∴EF＝CE－CF＝－＝.∵PF＝＝，∴S矩形EFPH＝EF·PF＝.8．解：(1)证明：如答图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，∵CE＝4，CF＝3，∴EF＝＝5，∴OC＝EF＝.(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．