上海奥数精讲 第10讲讲义 容斥原理的应用 (学生)

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1、容斥原理的应用教学目标熟练运用容斥原理解决计数问题。培养学生分析问题、解决问题的能力，锻炼思维的缜密性。联系生活实际，使学生学到有用的数学。内容概述在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数

2、。教学过程引入环节一：引入森林里，小动物们站成一排做早操，先从左到右报数，然后又从右到左报数，两次报“20”的分别是小猴子和小老虎，他们之间有10个小动物。小朋友们想一想，排队做操的一共有几个小动物？两个集合的容斥原理应用环节二：例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？（巩固拓展：五（3）班36个同学在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问有几个同学两题都不对？例2如图，⑴已知：∠AOB=90°，∠COD=80°。∠COB=

3、30°，求∠AOD。⑵已知：∠AOB=100°，∠COD=70°，∠AOD=135°，求∠COB。（巩固拓展：如图，桌面上放有两本书，A的面积是56，B的面积是48，桌面面积是200，书本未覆盖部分面积是116，求两本书重叠部分的面积。）例３在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？(巩固练习:在前1000个自然数中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？)多个集合的容斥原理应用环节四：例４某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项

4、达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：短跑游泳投掷短跑、游泳短跑、投掷游泳、投掷短跑、游泳、投掷1718156652求这个班的学生共有多少人？（巩固拓展：王母娘娘的1000个宝物中，可以降妖除魔的有500个，可以增长发力的共有333个，可以休养生息的共200个，其中又有166个既可以降妖除魔也可以增长法力，有66个既可以增长法力也可以休养生息，有100个既可以休养生息也可以降妖除魔。还有33个宝物三者兼具。问：那些没有被归类的宝物共有多少个？）例5如图所示，一个矩形、一个三角形和一个圆，平放在桌面上，已知矩形面积为44平方厘米，三角形面积为25平

5、方厘米，圆的面积为20平方厘米，矩形和三角形重合部分面积为10平方厘米，矩形和圆重合部分面积为8平方厘米，三角形和圆重合部分面积为5平方厘米。若这些图形覆盖的桌面部分面积是70平方厘米，问：是否有三个图形都重合的部分？若有，其面积是多少？（拓展巩固：如图，面积依次为22,18,24,12平方厘米的长方形、正方形、大圆、小圆平放在桌面上，长方形与正方形重合面积为7.4平方厘米，长方形与小圆重合面积为8.2平方厘米。长方形与大圆重合面积为7.6平方厘米，正方形与小圆重合面积为5.8平方厘米，正方形与大圆重合面积为9.5平方厘米，长方形、正方形与大圆重合面积为

6、3.5平方厘米，长方形、正方形与小圆重合面积为2.8平方厘米。求：这些图形所覆盖的桌面部分的面积。） 例6分母是1001的最简分数一共有多少个？（拓展巩固：在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？）总结全课环节六：教学目标：整理全课思路，巩固收获1、全课你都学到了什么？2、两个集合和三个集合的容斥原理分别怎么应用？3、我们分别总结了容斥原理在哪些方面的应用？【练习1】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34

7、人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？【练习2】面积为50的桌面上放有一个面积为20的正方形和一个面积为16的三角形，两个图形重叠部分的面积为8，请你求出桌面上未被覆盖部分的面积。【练习3】1——300这300个自然数中既不能被5整除，又不能被7整除的数有多少个？【练习4】某班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？【练习5】在1——1000的

8、整数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的有多少个？父母必读：好的家