高量5-01不可约张量算符

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1、8/7/20211２００４年１１月第五章不可约张量算符8/7/20212§4.1不可约张量算符的定义　　　　　　　及其代数运算规则IrreducibleTensor8/7/20213引　言●坐标系转动时物理量各有一定的变换规律●按坐标系转动下的变换规律将物理量分类→标量，矢量（一阶张量），二阶张量…●将物理量算符同样分类→标量算符，一阶张量算符，二阶张量算符…8/7/20214引　言●算符的表示依赖于坐标系的选择笛卡儿坐标系，球坐标系，……●不同坐标系的基矢通过幺正变换相联系8/7/20215一、球基矢●在量子力学中为计算方便引入球基矢↓●与笛卡儿坐标系基矢的关系逆变换

2、8/7/20216一、球基矢●性质●正交归一条件练习：证明上式8/7/20217二、球基矢上的向量算符表示●坐标向量8/7/20218二、球基矢上的向量算符表示→在球基矢下坐标向量算符的分量为●在坐标系转动下按如下规律变换8/7/20219二、球基矢上的向量算符表示●同理可得任一向量算符在球基矢上的表示其中●在坐标系转动下的变换规律8/7/202110三、不可约张量算符的定义●如下变换的算符称为一阶不可约张量算符●进而定义l阶不可约张量算符↓逆变换8/7/202111四、不可约张量算符的代数运算规则●加法：两个l阶不可约张量算符之和　　　　　　仍为l阶不可约张量算符证明

3、8/7/202112四、不可约张量算符的代数运算规则●乘法和收缩两个张量算符的乘法和收缩按下式定义8/7/202113四、不可约张量算符的代数运算规则●乘法和收缩8/7/202114四、不可约张量算符的代数运算规则●乘法和收缩8/7/202115五、零阶张量算符及张量算符的标量积●当时可收缩得到零阶张量左=常数•零阶张量，在转动下不变→右亦然●称式右为两个l阶不可约张量的标量积记为8/7/202116五、零阶张量算符及张量算符的标量积●一阶不可约张量→熟知的标量积形式例：两个坐标矢量的标量积8/7/202117六、不可约张量算符的Racah定义Giulio(Yoel)R

4、acah(1909-1965)Israeliphysicist&mathematician满足下式的2l+1个算符为l阶不可约张量算符↓8/7/202118六、不可约张量算符的Racah定义●两种定义的等价性代入8/7/202119六、不可约张量算符的Racah定义代入8/7/202120六、不可约张量算符的Racah定义代入8/7/202121六、不可约张量算符的Racah定义综合以上结果得8/7/202122六、不可约张量算符的Racah定义另一写法利用角动量算符在球基矢上的表示于是8/7/202123六、不可约张量算符的Racah定义而又因8/7/202124六、

5、不可约张量算符的Racah定义●又也可统一写为8/7/202125§4.2不可约张量算符的实例8/7/202126一、常见算符●可用拉卡定义判断是否不可约张量算符１、坐标算符与球谐函数相关，后者既是　　　　　　　函数，又是不可约张量算符8/7/202127一、常见算符●将坐标重新组合可构成一阶和二阶不可约　张量算符一阶二阶8/7/202128一、常见算符２、角动量及动量算符●角动量算符在球基矢上的表示利用可证均为一阶不可约张量算符8/7/202129一、常见算符２、角动量及动量算符●动量算符在球基矢上的表示其分量也是一阶不可约张量算符8/7/202130一、常见算符●以

6、上各向量算符，若用符号统一表示则它们在球基矢上的分量都是一阶不可约张量算符，且具有如下性质——或l阶不可约张量算符也具有这个性质一般的为8/7/202131二、不可约张量算符的厄米共轭不可约张量算符满足两端取厄米共轭定义若→自共轭张量算符8/7/202132三、相互作用的位能算符微观粒子间相互作用能都具有转动不变性→位能算符必为零阶张量算符，或两个同阶张量算符的标量积↙标量力↙自旋力↓自旋•轨道耦合力↘张量力8/7/202133三、相互作用的位能算符上式中1)→2)又8/7/202134§4.3Wigner-Eckart定理8/7/202135一、定理的表述和证明8/7

7、/202136二、计算几个有用的矩阵元→零阶张量的约化矩阵元与阵元相同且只有对角元8/7/202137