浅谈力学量算符

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1、浅谈力学量算符姓名：刘琚学号：2009700206专业班级：2009级物理学二班摘要：由于微观粒子具有波粒二象性，所以在计算屮必须采用新的方式来表示微观粒子的力学量一一算符。本文简单叙述关于力学量算符的基本理论并详细说明了两种基木的力学量算符。关键字：力学量算符；对易；本征值；动量算符；角动量算符1.引言1923年，法国物理学家德布罗意于提出微观粒子具有波粒二象性的假说。德布罗意认为：正如光具有波粒二象性一样，实体的微粒（如电子、原子等）也具有这种性质，即既具有粒子性也具有波动性。这一假说不久就为实验

2、所证实。由于观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数描述，它是坐标和时间的复函数。当微观粒子处于某一状态时，它的力学量（如坐标、动量、角动量、能量等）一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定。在描述力

3、学量吋，便引入了力学量算符。2.力学量算符基本概念2.1算符及其运算规则（一）算符的定义：算符是指作用在一个函数上得出男一个函数的运算符号。k＞，hx，3，ih我们通常用上方加“八”的字母来表示算符，例如：dxy。算符作dudFu=v,——=v——用在一个函数U上，使之变成另一个新的函数V，例如：dx，也是微商算符。（二）算符的运算规则：2.算符相加：若Fu=pu+Qu则厂=尸+2AAAA^A+B=B+A（满足加法交换律）3.算符相乘A+(B+C)=(A+5)+C（满足加法结合律）:若PQu=Fu，则

4、尸2=F如果同一算符连续作用n次，则写作/>,例如:AAApu=p[p（pu）]4.算符的对易关系：如果AA八八PQ-QPo—/^与2对易，一*般来说，算符之0---P与2不又寸易积并不一定满足对易律，即一般但是，在某些情况下，算符之积满足对易律。另外，如果算符^和打对易，打和c对易，则和（7不—定对易例如：X和1对易的，A和A对易，但X和！都不对易。clyclydxclx有了这些规定，就可以象普通代数中那样对算符进行加、减和乘积运算。但是，在计算中不能随便改变各因子的次序（因为W个算符不一定对易），

5、例如：22（A~BX（A+B）=A~BA^AB~B險非己经知道a与b对易，否则不八2八2能轻易地把上式写成等于A-公。2.2算符的种类（一）线性算符AAAA若Q（c,u^c2u2）=ciQul+c2Qu2^则称2为线性算符，其中〜心为两个任意函数，是常数（复数）。显然，X,积分运算都是线性，但平方根算符则不是线性算符。因为：+在一般的情况下，量子力学中刻画力学量的算符都是线性算符。（二）厄密算符A如果对于任意两个函数V和算符P满足下列等式:p(/>=则称F为厄密算符，式屮x代表所有变量，积分范围是所有

6、变量变化的整个区域，且V和$是平方可积的，即当变量时，它们要足够快地趋向于0。显然，两个厄密算符之和仍为厄密算符，但两个厄密算符之积却不一定是厄密算符，除非两者可以对易。2.3算符的本征值和本征函数如果算符作用在一个函数V，结果等于乘上一个常数/LApy/=Ay/则称A为>的木征值，％为属于A的木征函数，上面方程叫木征方程。木征方程的物理意义：如果算符表示力学量，那么当体系处于的本征态v时，力学量有确定值，这个值就是#在V态中的本征值。1.力学量的算符表示（一）几个例子：（％表示为坐标的函数时，V=动

7、量P=能量E:+W)坐标乙（可写成等式））基本力学量算符：动量和坐标算符dy9P--4，p--4，p-4rxdxrydyr2dzX=x,y=y,z=z(三)其他力学量算符:由基木力学量相对应的算符所构成，如果量子力学中的力学量P在经典力A学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符P由经典表示式F=中将AP换为算符P而得出，即:A八八AAF=F(rp^=F(r，-科£=^-+f/(r)例如：八八fe22£=H=-—V^+t/(F)--一则又如：L=rxPAi则:xp=rx(一访▽)=一访rx▽当然，在量

8、子力学屮表示力学量的算符都是厄密算符所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的木征值必须是实数，而厄密算符就具有这个性质。1.两个典型的力学量算符4.1动量算符动量算符的本征值方程是：-z//V^(r)=p^-(r)(1)式中P是动量算符的本征值，&，(?)为相应本征函数，(1)式的三个分量方程是:-ih^p(r)=pxV/p(r)一汸惫心(戸)=一汸臺心O氏心(尸)(2)它们的解是：^-(r)