Wilcoxon符号秩检验

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1、§2.2Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验(Wilcoxonsigned-ranktest)是非参数统计中符号检验法的改进，它不仅利用了观察值和原假设中心位置的差的正负，还利用了差的值的大小的信息。虽然是简单的非参数方法，但却体现了秩的基本思想。例2.4下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的酒量（相当于纯酒精数）（单位：升）。数据已经按升幂排列。4.125.187.639.7410.3911.9212.3212.8913.5414.45人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数相当

2、于纯酒精8升，也就是me0=8。由数据算得的中位数为11.16。因此，我们的检验设为：H0：me＝8，H1：me>8先计算每个样本值和原假设中me0的值之差，即Xi－8。考虑这些差的绝对值并将绝对值从小到大排序，从而求出这些绝对值的秩。再计算比8大的样本对应的绝对值的秩之和，如果这个和比较大，我们就拒绝原假设，接受备择假设。问题一般提法：假定样本X1,…,Xn来自分布连续对称的总体X，在此假定下总体X的中位数等于均值。问题主要是检验中位数，即原检验为H0：me=me0，相对于各种单双边的备择假设。注

3、：（1）与符号检验不同：Wilcoxon符号秩检验假设总体分布是对称的。（2）在总体分布对称的假设下，即设总体X的分布关于点θ对称，则X的均值和中位数相同，且均为θ。所以检验总体中位数可等价于检验总体对称中心。即检验的原假设H0：M=M0等价于H0：θ=θ0（相对于各种单双边的备择假设）。检验步骤：H0：θ＝θ0（对应于各单双边备择假设）Step1.计算i=1,2,…,n。记差为zi.Step2.将差zi.的绝对值，即…,按从小到大的顺序排列。由于总体服从连续型分布，不妨假定样本互不相等，都不等于0

4、，且样本差的绝对值也互不相等。所以可得到样本zi.的绝对值的秩，不妨记的秩为Ri。Step3.符号秩和检验统计量为其中或者取检验统计量为其中主要取W＋为检验统计量。Step4设w＋表示由样本算出的W＋的值。（1）H0：θ＝θ0,H1：θ>θ0p值＝P(W＋≥w＋)；（2）H0：θ＝θ0,H1：θ<θ0p值＝P(W＋≤w＋)；（3）H0：θ＝θ0,H1：θ≠θ0p值＝2min{P(W＋≥w＋)，P(W＋≤w＋)}对Step4的注解：对于对称中心不为0的总体分布，可以转化为中心为0的情况进行检验！现不妨

5、假设θ0＝0，则原假设变为H0：θ＝0对于这种检验，通过严格的证明来说明p值的选取。（1）H0：θ＝0,H1：θ>0。若H1成立，则总体X的分布关于点θ对称。从而有，P(X>0)>P(X<0)，且对任意正数a，P(X>a)>P(X<－a)。所以当H1成立，不仅观察到的取正值的样本数据的个数比较多，且取正值的样本数据的拒绝值也比较大。由此，H1成立时，W＋的值较大。所以p值＝P(W＋≥w＋)。例2.2中我们的检验设为：H0：M＝8，H1：M>8下面来用Wilcoxon符号秩检验，等价于检验H0：θ＝8

6、，H1：θ>8检验步骤Step1.对于i=1,2,…,n，计算得到新的样本zi和它们对应的秩如下：样本xi4.125.187.639.7410.3911.9212.3212.913.5414.45zi的符号－－－＋＋＋＋＋＋＋zi的绝对值3.882.190.371.742.393.924.324.895.546.45秩53124678910Step2.计算W＋。W+=2+4+6+7+8+9＋10＝46利用W＋的分布，辅以统计软件，可计算出p值＝0.032。Step3.所以给定α＝0.05时，此时可拒

7、绝原假设，认为欧洲人均酒精年消费多于8升。W＋的分布性质设独立同分布样本x1,…,xn来自连续对称总体X,X分布的对称中心为θ。为方便讨论，不妨设原假设为H0：θ＝0，即总体分布关于原点0对称的条件下，讨论W＋的性质。注：W＋与W－有下列关系：W++W-=n(n＋1)/2（关键）性质2.1令则在总体的分布关于原点0对称时，W＋与S同分布。注：S是W＋当Ri＝i时的特殊情况。研究W＋的分布可转为研究S的分布。概率分布性质2.2在总体的分布关于原点0对称时，W＋的概率分布为P(W+=d)=P(S＝d)=

8、tn(d)/2n,其中，d＝0,1,2,…,n(n+1)/2，tn(d)表示从1,2,…,n这n个数中任取若干个数（包括一个都不取），其和恰为d，共有多少种取法。对称性性质2.3在总体的分布关于原点0对称时，W＋服从对称分布，对称中心为n(n+1)/4，即：对所有的d=0,1,2,…,n(n+1)/4，有P(W+=n(n+1)/4－d)＝P(W+=n(n+1)/4+d),P(W+≤n(n+1)/4－d)＝P(W+≥n(n+1)/4+d)。期望方差及渐近正态性性质2.4