非线性方程及非线性方程组的解法

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1、第五章非线性方程及非线性方程组解法由何满喜,尚绪凤制作计算方法计算方法课件5.1对分法5.4弦位法5.3牛顿迭代法5.2迭代法在本章，你将学到5.1对分法5.2迭代法5.3牛顿迭代法5.4弦位法5.5解非线性方程组的牛顿迭代法5.5解非线性方程组的牛顿迭代法第五章非线性方程及非线性方程组的解法一个非线性方程的根可能是实数也可能是复数，这里只考虑方程的根为实数的情况。第五章5.1对分法设非线性方程（5.1）第五章5.1对分法若则就是近似值.如此下去，这就是求方程实根的对分法。第五章5.1对分法（5.4）图5.1第五章5.1对分

2、法并利用公式（5.2）和（5.3）继续以上过程，解记则第五章5.1对分法第五章5.2迭代法把非线性方程(5.1)改写成以下等价形式的方程由此可作迭代公式（5.5）（5.6）迭代法的几何意义如图5.2所示。这就是非线性方程(5.1)求根的迭代法,并把称为迭代函数。第五章5.2迭代法从点出发，过点做平行于再过点该交点的坐标为，又过点第五章图5.25.2迭代法是发散的第五章5.2迭代法例2解:(1)将原方程化为等价方程由此得迭代公式取，则有第五章5.2迭代法显然迭代法发散。(2)如果将原方程化为等价方程则有迭代公式：仍取初值，则有

3、第五章5.2迭代法依此类推得x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000同样的方程不同的迭代格式有不同的结果已经收敛,故原方程的解为迭代函数的构造有关什么形式的迭代函数能够收敛呢?第五章5.2迭代法问题是方程（5.1）改写成（5.5）等价形式的方法较多，因此如何改写或如何选择迭代函数才能由迭代公式（5.6）得到的序列收敛于？方程（5.1）的根第五章5.2迭代法定理1把非线性方程（5.1）改写成（5.5）等价形式时，若迭代函数满足条件：即对任意的都有（5.7）常数.（5.8）若L<

4、1,则由迭代公式（5.6）得到的序列收敛于方程（5.1）的根，并有误差估计式第五章5.2迭代法第五章5.2迭代法连续，因此对迭代公式（5.6）两边求极限得故定理得证。第五章5.2迭代法推论设把方程(5.1)改写成(5.5)等价形式时，在实际应用中验证迭代公式（5.6）的迭代函数第五章5.2迭代法解由于方程在区间内有一个正根，所以将方程改写成下列形式：因此取所以迭代公式第五章5.2迭代法计算结果见表5.2，由此得正根为。第五章5.3牛顿迭代法设则其解为并记为第五章（5.10）式就称为牛顿迭代公式。（5.10）否则再把在就可得到

5、一个迭代序列及迭代公式：点展开成泰勒级数，继续这个做法，牛顿迭代公式的推导也可用以下方法得到。5.3牛顿迭代法第五章（5.11）令，则切线方程的根为5.3牛顿迭代法若则就是的近似值,否则继续以上做曲线的切线过程,过点令则记第五章并记为（5.10）继续考虑是否，若满足，则就是所以牛顿迭代法也称为切线法。5.3牛顿迭代法牛顿迭代法的几何意义就是用过点的切线与x轴的交点逐步逼近方程（5.1）的根见图5.3。第五章图5.35.3牛顿迭代法第五章定理2设非线性方程（5.1）的函数在区间上有二阶导数，是由（5.11）得到的的切线，那么由

6、此不难得到定理的结论（5.12）和（5.13）。5.3牛顿迭代法由（5.11）得第五章5.3牛顿迭代法定理3设非线性方程（5.1）的函数满足：（1）对任意，不变号，（2）对任意，（3）证明由条件(1)、(2)知，函数是单调函数.再用条件(3)可知，(见后面图)：属于下列情况之一则由迭代公式（5.10）得到的点列一定收敛于方程（5.1）的唯一根第五章5.3牛顿迭代法（a）（b）（c）仅就情况（c）来证明。对初始值，要使满足，则必有因此在情况(c)下，若实际上，因，故由(5.11)给出的切线第五章5.3牛顿迭代法对公式（5.10

7、）求极限得所以切线的零点，即点列是单调下降且有界，故必有极限，设,即，故是方程的根，因为因此必有，从而，定理得证。满足条件（1）～（3），所以方程根是唯一的，第五章5.3牛顿迭代法解把方程等价变为以下方程：故迭代公式5.4弦位法第五章5.4弦位法弦位法是对曲线做过点的直线（5.14）并用直线的零点来逼近方程（5.1）的根。先求方程的根并把根记为就得迭代公式:（5.15）这就是求方程(5.1)根的弦位法(也称双点弦截法).弦位法的几何意义就是用直线的零点来逐步逼近方程（5.1）的根，见图5.4。第五章5.4弦位法图5.4类似于

8、以上双点弦截法，也有单点弦截法，即还可以得到单点弦截法的迭代公式：第五章5.5解非线性方程组的牛顿迭代法第五章5.5解非线性方程组的牛顿迭代法以两个二元方程为例介绍解非线性方程组的牛顿迭代法。对非线性方程组（5.16）设（5.16）的一个初始近似解为，把展开公式展开，并只取其线性部分，对非