非线性方程组的解法

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1、第四章非线性方程组的解法4.1非线性方程组的一般形式从上面两章中，我们研究了离散化结构中任一单元在/T/+△/的时间增量步内，由材料非线性引起的单元切线刚度阵是线性的，(如第三章得出的增量平衡方程ktq=Ap(7)(假定f时刻的状态已知)),由此集合而成结构的增量平衡方程也是线性的KTq=P,这就为求解整个的非线性过程准备了条件。即只要确定每一步的切线刚度，通过求解一系列的线性方程组，累加起来就得到了解的全过程。结构总的平衡方程是非线性的:K(q)q=P(1)i.eq=K'[Pa令R=K⑷q⑴—F=P_R(q)=O⑴'分段线性化是求解非线性问题屮一个普遍有

2、效的技术，但作为具体的解法还有许多种，主要的有：1、增量法一纯增量法2、迭代法一直接迭代法(刚线刚度法)、Newton-Raphson迭代法(切线刚度法)3、・混合法一增量/迭代型方法4.2载荷增量法《纯增量法〉1、基本思想将一个非线性的全过程分成若干段，每一段用一个线性问题去近似。如将一段取得足够小，总可以逼近真实的非线性过程。A&为载荷系数方法：若将外载荷分成N个增量步，而每个增量载荷为A用二(或称载荷因子)，则总载荷PW；N其中：/[=£△&£)为基准载荷./=1上面的结构平衡方程为F⑷二P-Z?⑷=0⑴‘i.eF(q)=化-R(q)=0(2)上式两边对2

3、微分得*一心⑷务=0如比例加载（力的大小和方向不变），有dp=d祝,代入⑷得dq=K；⑷砂）=K；（q）dPi.e.q=K；（q）AP将（5）式写成增量形式便有以下求解格式⑹\q=［KT{qi_^PiIG=缶+阿2、求解步骤N1）将载荷分成若干个增量步P=，准备位移量累加器［Q］并置零./=12）施加第1个载荷增量计算kM=^线性dq求解的=［心（％）「遊S=△%并送入位移量累加器［Q］3）施加第2个增量步△马=△人人用4,求心（s）即在J处的切线刚度矩阵求解人％=1心（4）「仏笃q2=+△'在位移量累加器［Q］中完成累加.N4）重复3）直至（N）个载荷施

4、加完毕，在位移量累加器［Q］屮得到总位移q=^qt3.几何意义及讨论qi9293/=!优缺点：优点：了解加载过程，当Mt足够小，总能收敛到真实解缺点：实际不可能无限小，因此累积误差，且无法估计，造成极大偏离而失真4.3迭代法1直接迭代法1）基木思想：将载荷一次加上，并假设一个初始解代入方程组求出第一次近似解；将其再代入方程组求解，得出第二次近似解，反复迭代逐次修正解，肓至满足方程组（类似于对过渡单元加权平均/打中加的迭代）。2）步骤①假设近似解％；②代入方程（1）得q⑴二［心（严）『几③依次类推得（7）3）几何意义（一维问题）迭代过程是调整其平行割线刚度的过程。

5、4）优缺点求解方法简单，对原有弹性分析程序稍加修改即可，适用于非线性弹性。但迭代效率低，对一些问题不收敛。P不收敛（发散）/4P收敛慢r」売2牛顿一莱夫森迭代法（Newton—Raphson）1）基本思想对非线性方程（1）函数f©）在某一近似解处g（J）作一阶台劳展开F⑷"(0))+(q-q⑺町+0（旳=0(9)为当前迭代解与准确解之间的差值。由（8）得伽⑷F(严(10)代入⑴‘F(0))=P_R(0))hO两边求导得(11)丿q=q设外力（大小.方向）与位移无关，由（6）得(12)（12）式代回（10）、（11）得△0)=K0)「(p—H0)))(13)于是得

6、到迭代公式(14)0+

7、）二0）+勺（问）、g⑷W）冃2）N-R法迭代步骤①取初始状态｛^°｝=0,故r｛＜7°）=0计算K畀护｝二K,即线弹性刚度矩阵（与当前位移无关）求解方程（8）M=[k「G°）F3-削°）｝）=k°r旧代入（9）3}={gO}+{M}={M}加线性解②由{/}计算K/0）和rS）=K「S）・0}从而得到{灯卜k%）］-'（同―怦（孑）}）和fa2}=0}+M③重复2的做法，反复迭代直至满足给定的迭代准则M=l^r（qH『{{〃}-R（qH）}=［kt（严）］■'z（qH）gJ}=fa7-1}+{△"}={“）}+工{△/}J3）几何意义

8、（以一维问题为例）按基本公式（12）,（13）,（14）a、曲线上，在“}对应点的斜率,也就是切线刚度;{"}为当前状态下的外载向量;b、)}=[kc)]■gj}=jBt~DBd^}{/?}称为当前抗力,{P]-{R}={Z}称为当前的不平衡{"}力；所以，每一次迭代都是在上一次迭代终（当前）的变形，应力状态下，形成新的切线刚度矩阵作为求下一次迭代解的切线刚度，用当前的不平衡力求解。作为对上一次解的修正，不断修正，使不平衡力越来越小，最后达到平衡。4）优缺点及适用范围从上面迭代原理可知：该方法使变刚度法，计算工作量较大，但是收敛速度比较快，而且收敛性比较好，但

9、是有时特例也不一定能保证