非线性方程组的解法

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1、非线性有限元第四章非线性方程组的解法第四章非线性方程组的解法4.1非线性方程组的一般形式从上面两章中，我们研究了离散化结构中任一单元在的时间增量步内，由材料非线性引起的单元切线刚度阵是线性的，（如第三章得出的增量平衡方程(7)（假定时刻的状态已知）），由此集合而成结构的增量平衡方程也是线性的，这就为求解整个的非线性过程准备了条件。即只要确定每一步的切线刚度，通过求解一系列的线性方程组，累加起来就得到了解的全过程。结构总的平衡方程是非线性的：(1)i.e。令(1)’分段线性化是求解非线性问题中一个普遍有效的技术，但作为具体的解法还有许多种，主要的有：1、增量法―纯增量法2、迭代法―直接迭代法（

2、刚线刚度法）、Newton-Raphson迭代法（切线刚度法）3、.混合法―增量/迭代型方法4.2载荷增量法（纯增量法）1、基本思想将一个非线性的全过程分成若干段，每一段用一个线性问题去近似。如将一段取得足够小，总可以逼近真实的非线性过程。方法：若将外载荷分成个增量步，而每个增量载荷为，为载荷系数（或称载荷因子），则总载荷；其中：为基准载荷.上面的结构平衡方程为(1)´i.e(2)9非线性有限元第四章非线性方程组的解法上式两边对微分得(3)i.e(4)如比例加载（力的大小和方向不变），有，代入(4)得(5)将(5)式写成增量形式便有以下求解格式(6)2、求解步骤1）将载荷分成若干个增量步，准

3、备位移量累加器[Q]并置零.2）施加第1个载荷增量，计算线性求解并送入位移量累加器[Q]3）施加第2个增量步用，求即在处的切线刚度矩阵求解在位移量累加器[Q]中完成累加.4）重复3）直至()个载荷施加完毕,在位移量累加器[Q]中得到总位移3.几何意义及讨论优缺点：优点：了解加载过程，当足够小，总能收敛到真实解缺点：实际不可能无限小，因此累积误差，且无法估计，造成极大偏离而失真9非线性有限元第四章非线性方程组的解法4.3迭代法1直接迭代法1)基本思想：将载荷一次加上，并假设一个初始解代入方程组求出第一次近似解；将其再代入方程组求解，得出第二次近似解，反复迭代逐次修正解，直至满足方程组（类似于对

4、过渡单元加权平均中的迭代）。2)步骤①假设近似解；②代入方程（1）得；③依次类推得（7）3）几何意义（一维问题）迭代过程是调整其平行割线刚度的过程。4）优缺点求解方法简单，对原有弹性分析程序稍加修改即可，适用于非线性弹性。但迭代效率低，对一些问题不收敛。举例P收敛球壳qqP不收敛（发散）qP收敛慢q浅壳9非线性有限元第四章非线性方程组的解法2牛顿－莱夫森迭代法（Newton－Raphson）1）基本思想对非线性方程（1）函数在某一近似解处作一阶台劳展开(8)设(9)为当前迭代解与准确解之间的差值。由（8）得(10)代入（1）＇两边求导得(11)设外力（大小、方向）与位移无关，由（6）得(12

5、)（12）式代回（10）、（11）得(13)于是得到迭代公式(14)2)法迭代步骤①取初始状态，故计算即线弹性刚度矩阵（与当前位移无关）求解方程（8）代入（9）线性解9非线性有限元第四章非线性方程组的解法②由计算和从而得到和③重复2的做法，反复迭代直至满足给定的迭代准则3）几何意义（以一维问题为例）按基本公式（12），（13），（14）a、为曲线上,在对应点的斜率，也就是切线刚度；为当前状态下的外载向量；b、称为当前抗力,称为当前的不平衡力；所以，每一次迭代都是在上一次迭代终（当前）的变形，应力状态下，形成新的切线刚度矩阵作为求下一次迭代解的切线刚度，用当前的不平衡力求解。作为对上一次解的修

6、正，不断修正，使不平衡力越来越小，最后达到平衡。4）优缺点及适用范围从上面迭代原理可知：该方法使变刚度法，计算工作量较大，但是收敛速度比较快，而且收敛性比较好，但是有时特例也不一定能保证收敛。为了改进N-R方法，克服计算量大的缺点，产生了等刚度法3修正的N-R迭代法（等刚度法）顾名思义，等刚度就是在迭代过程中取一个（相等得）切线刚度矩阵，如果取初始的或某一个值，取i.e.取（j＝1，2，。。。）作了这一改进之后，只需在开始第一步迭代时第k步计算各单元的单刚，组装一次总刚后，作为以后每一次迭代的总刚而无需每次重新计算重新组装，只需计算由当前位移9非线性有限元第四章非线性方程组的解法引起的结构反

7、力，然后回代求解相应的位移增量。这一改进明显减少了计算工作量，但收敛速度必然会放慢，总的效果有时是好的。以后又有人作了进一步的改进，在等刚度迭代几次以后，改用一次变刚度，形成新的刚度阵再作等刚度迭代。等刚度迭代分段等刚度迭代总结N-R迭代法(10)纯增量法(6)将纯增量法和N-R迭代法结合起来:(15)4.4混合法1基本思想结合增量法保证收敛的优点和N-R迭代法不断校正解的优点，可取得好的效果。即首先将总载荷